逻辑函数的最小项和最大项

在逻辑运算中有些逻辑函数往往不是以最简的形式给出，这既不利于判断这些逻辑函数的因果关系，也不利于用最少的电子器件来实现这些逻辑函数，因而有必要对这些逻辑函数进行化简。化简方法有代数法和卡诺图法。

1．2．6．1 逻辑函数表达式的类型和最简式的含义

1．表达式的类型

一个逻辑函数，其表达式的类型是多种多样的。人们常按照逻辑电路的结构不同，把表达式分成5类: 与－或、或－与、与非－与非、或非－或非、与－或－非。

上述5种表达式彼此之间是相通的，可以利用逻辑代数的公式和法则进行转换。其中与－或表达式比较常见，逻辑代数的基本公式大都以与或形式给出，而且与－或式比较容易转换为其他表达式形式。

2．最简与－或表达式

所谓最简与－或表达式，是指乘积项的个数是最少的，而且每个乘积项中变量的个数也是最少的与－或表达式。这样的表达式逻辑关系更明显，而且便于用最简的电路加以实现(因为乘积项最少，则所用的与门最少; 而每个乘积项中变量的个数最少，则每个与门的输入端数也最少)，所以化简有其实用意义。

1．2．6．2 代数法化简逻辑函数

代数法化简就是反复使用逻辑代数的基本公式和定理，消去多余的乘积项和每个乘积项中的多余因子，从而得到最简表达式。

1．并项法

例1－12 化简

解

2．吸收法

利用公式A+AB=A，将多余的乘积项AB吸收掉。

例1－13 化简 Y=ABC+ABC(D+EF)

解 Y=ABC［1+(D+EF)］=ABC

3．消去法

=AB+C

=

4．配项法

利用将某些乘积项变成两项，然后再与其他项合并化筒。

=AC+BC

(2)由A将AB、ACEF两项吸收，得

(4)由上式可以看出，DEFG是多余项，故Y=A+C+BD+B¯EF

例1－17 化简Y=AB+¯A¯C+B¯C

1．2．6．3 卡诺图法化简逻辑函数

卡诺图化简法是逻辑函数式的图解化简方法。它克服了代数化简法对最终化简结果难以确定的缺点，具有确定的化简步骤，能比较方便地获得逻辑函数的最简与－或表达式。

1．逻辑函数的最小项

(1)最小项的定义

在逻辑函数表达式中，如果一个乘积项包含了所有的输入变量，而且每个变量都是以原变量或反变量的形式出现一次，且仅出现一次，该乘积项就称为最小项。

(2)最小项的编号

表1－14 三变量逻辑函数的最小项及其相应编号

(3)最小项的性质

根据最小项的定义，不难证明最小项具有以下性质:

①每一个最小项都对应了一组变量取值，只有该组取值出现时其值才会为1。

②任意两个不同的最小项乘积恒为0。

③全部最小项之和恒为1。

(4)最小项表达式

任何一个逻辑函数均可以表示成若干个最小项之和的形式，这样的逻辑函数表达式称为最小项表达式。

式中求和符号∑表示括号中指定最小项的或运算。

2．逻辑函数的卡诺图

(1)卡诺图的画法规则

n个逻辑变量可以组成2n个最小项。在这些最小项中，如果两个最小项仅有一个因子不同，而其余因子均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻项。为表示最小项之间的逻辑相邻关系，美国工程师卡诺设计了一种最小项方格图。他把逻辑相邻项安排在相邻的方格中，按此规律排列起来的最小项方格图成为卡诺图。

n个变量的逻辑函数由2n个小方格组成。图1－12给出了二变量、三变量和四变量卡诺图的画法。

图1－12 卡诺图画法

(a)二变量; (b)三变量; (c)四变量

在画卡诺图时，应遵循如下规定:

①将n变量函数填入一个分割成2n个小方格的矩形图中，每个最小项占一格，方格的序号和最小项的序号一致，由方格左边和上边二进制代码的数值确定。

②卡诺图要求上下、左右相对的边界、四角等相邻格只允许一个变量发生变化(即相邻最小项只有一个变量取值不同)。

(2)用卡诺图表示逻辑函数

既然任何一个逻辑函数都可以表示为若干个最小项之和的形式，那么也就可以用卡诺图来表示逻辑函数。实现用卡诺图来表示逻辑函数的一般步骤是:

①先将逻辑函数化成最小项表达式;

②在相应变量卡诺图中标出最小项，把式中所包含的最小项在卡诺图相应小方格中填1，其余的方格填上0(或不填)。

例1－22 画出函数Y=AB+CA的卡诺图。

解 首先将Y化成最小项表达式:

把Y的最小项用1填入三变量卡诺图中，其余填0(或不填)便可得如图1－13所示的卡诺图。

图1－13 例1－22函数的卡诺图

3．用卡诺图化简逻辑函数

(1)合并最小项的规则

①如果相邻的两个小方格同时为“1”，可以合并一个两格组(用圈圈起来)，合并后可以消去一个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。

逻辑相邻的情况举例如图1－14所示。

图1－14 合并两格组

②如果相邻的四个小方格同时为“1”，可以合并一个四格组，合并后可以消去二个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。逻辑相邻的情况举例如图1－15所示。

图1－15 合并四格组

③如果相邻的八个小方格同时为“1”，可以合并一个八格组，合并后可以消去三个取值互补的变量，留下的是取值不变的变量。相邻的情况举例如图1－16所示。

图1－16 合并八格组

(2)画圈的原则

①圈的个数要尽可能地少(因一个圈代表一个乘积项)

②圈要尽可能地大(因圈越大可消去的变量越多，相应的乘积项就越简)。

③每画一个圈至少包括一个新的“1”格，否则是多余的，所有的“1”都要被圈到。

(3)用卡诺图化简逻辑函数的步骤

①把给定的逻辑函数表达式填到卡诺图中。

②找出可以合并的最小项(画圈，一个圈代表一个乘积项)。

③写出合并后的乘积项，并写成“与－或”表达式。

(4)化简逻辑函数时应该注意的问题

①合并最小项的个数只能为2n(n=0，1，2，3)。

②如果卡诺图中填满了“1”则Y=1。

③函数值为“1”的格可以重复使用，但是每一个圈中至少有一个“1”未被其他的圈使用过，否则得出的不是最简单的表达式。

解 首先画出逻辑函数Y的卡诺图，如图1－17所示。由图1－17可以看出，可以合并一个四格组和一个二格组，合并后为Y=A+BC。

图1－17 例1－23卡诺图

例1－24 化简逻辑函数Y(A，B，C，D) =∑m(0，2，5，6，7，8，9，10，11，14，15)

解 此题是逻辑函数的最小项表示法，表达式中出现的最小项对应的小方格填“1”，其余的小方格填“0”。得到逻辑函数的卡诺图如图1－18所示。合并二个四格组和一个孤立的“1”。合并化简后为: Y=A¯B+¯ABD+BC+¯B¯D。

图1－18 例1－24卡诺图

例1－25 用卡诺图化简函数

解 (1)先将函数Y填入四变量卡诺图，如图7－19所示。

图1－19 例1－25卡诺图

(2)画卡诺圈。

(3)提取每个卡诺圈的公因子作乘积项，将这些乘积项相加，就可得到化简后的逻辑函数为