【摘要】：，an，在S中都有一个唯一确定的元素c与它们对应，则称这个法则是集合S中一个n元代数运算。，fn是S上的n个代数运算，则S与n个运算所组成的结构称为代数结构或代数系统，记为＜S；f1，f2，…，＊n＞为V的子代数结构，简称为V的子代数。定义6．9 设S是一个非空集合，若S上存在一个二元运算＊，适合结合律，即对于S中任意a，b，c均有（a＊b）＊c＝a＊（b＊c），则称代数结构＜S；＊＞是一个半群。
定义6．1 设S是一个非空集合。如果有一个法则，它对S中任意两个有序元素a与b，在S中都有一个唯一确定的元素c与它们对应，则称这个法则是集合S上的一个二元代数运算。
本书后面讨论的代数运算若无特别说明，均为二元运算。一般地，容易得到n元运算的定义：
设S是一个非空集合。如果有一个法则，它对S中任意n个有序元素a1，a2，…，an，在S中都有一个唯一确定的元素c与它们对应，则称这个法则是集合S中一个n元代数运算。
定义6．2 设S上有n元运算＊（n为正整数），S′⊆S，若对任意a1，a2，…，an∈S′，有＊（a1，a2，…，an）∈S′，则称S上的＊运算对S′封闭，或称为S′在＊下是封闭的。
1）a1＝a；
2）an＋1＝an＊a。
利用数学归纳法，不难证明下列公式：
1）am＊an＝am＋n；
2）（am）n＝amn。
其中，m，n∈Z＋。
定义6．3 设S是一个非空集合，f1，f2，…，fn是S上的n个代数运算，则S与n个运算所组成的结构称为代数结构或代数系统，记为＜S；f1，f2，…，fn＞。
定义6．4 设V＝＜S；＊1，＊2，…，＊n＞，S′⊆S，如果运算＊1，＊2，…，＊n在S′上封闭，则称＜S′；＊1，＊2，…，＊n＞为V的子代数结构，简称为V的子代数。
定义6．9 设S是一个非空集合，若S上存在一个二元运算＊，适合结合律，即对于S中任意a，b，c均有（a＊b）＊c＝a＊（b＊c），则称代数结构＜S；＊＞是一个半群。如果半群＜S；＊＞含有关于运算＊的单位元，则称之为单元半群（或称为独异点）。如果一个半群的运算又满足交换律，则叫可换半群。
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