电子动量的不确定量怎么计算

在经典力学中，一个宏观粒子的运动状态是用它的坐标和动量来描述的，如果知道它在初始时刻的坐标和动量，利用牛顿定律就可以知道以后任一时刻的坐标和动量，从而知道粒子的运动轨道和其他一些力学量（如动能、势能、角动量等）的值。这样粒子在任何时刻都可同时具有确定的坐标、动量和其他一些力学量。

与此不同，微观粒子具有明显的波动性，人们不能知道某时刻粒子一定在哪出现，只能知道它在各点出现的概率，致使它的某些成对物理量不可能同时具有确定的量值。例如，位置坐标和动量两者就不能同时具有确定的量值。其中一个量的不确定程度越小，另一个量的不确定程度就越大。

这一规律直接来源于微观粒子的波粒二象性，可以借助于电子单缝衍射实验结果来说明这个问题。如图18－1－1所示，设单缝宽度为Δx，使一束电子沿y轴方向射向狭缝，在缝后放置照相底片，以记录电子落在底片上的位置。电子的单缝衍射规律类似于光的衍射规律，大部分电子将落在底片中央较宽的区域，少量电子将落在外侧次极大处。现在来讨论某一个电子通过狭缝时的位置和动量的关系。

电子可以从缝上任何一点通过单缝，因此在电子通过单缝时，在x方向上位置的不确定量就是缝宽Δx。与此同时，由于衍射的缘故，电子的运动方向要发生变化，使得动量的大小不发生变化，但在x方向将出现分量px。px是一个不确定量，可从衍射电子的分布来估算Δpx的大小。为简便起见，先考虑到达单缝衍射中央明纹区的电子。设φ为中央明纹旁第一级暗纹的衍射角，因此电子在通过单缝时，运动方向可以有大到φ角的偏转，因此

图18－1－1 电子的单缝衍射

这表明，一个电子通过单缝时在x方向上的动量的不确定量为

考虑到还有一些电子落在中央明纹以外区域，则

这一关系式称为坐标和动量的不确定关系。这是由德国物理学家海森伯在1927年首先提出的。从量子力学出发进行严格推导，得出坐标和动量的不确定关系的最终形式为

坐标和动量的不确定关系表明，微观粒子的位置坐标和同一方向的动量不可能同时具有确定值，位置坐标测量得越准确（Δx越小），则动量越不能准确测量（Δpx越大）。这和实验结果是一致的。如做单缝衍射实验时，缝越窄，电子在底片上分布的范围就越宽。因此，对于具有波粒二象性的微观粒子，不可能用某一时刻的位置和动量描述其运动状态，轨道的概念已失去意义，经典力学规律也不再适用。

不确定关系不仅存在于坐标和动量之间，也存在于能量和时间之间。如果微观粒子处于某一状态的时间为Δt，则其能量必有一个不确定量ΔE。由量子力学可推出两者之间有如下关系：

此式称为能量和时间的不确定关系。将其应用于原子系统，可以讨论原子各受激态能级宽度ΔE和该能级平均寿命Δt之间的关系。如果受激态的平均寿命Δt越长（能级越稳定），能级宽度ΔE就越小（能级越确定），跃迁到基态所发射的光谱线的单色性就越好；如果受激态的平均寿命越短，则该能级的能量值存在一个较大的弥散宽度。

不确定关系是微观客体具有波粒二象性的反映，是物理学中重要的基本规律，在微观世界的各个领域中有很广泛的应用。

不确定关系划分了经典理论与量子理论的界限。如果在某个具体问题中普朗克常量h可以忽略（h→0），则Δx·Δpx≥0，这就意味着Δx和Δpx可以同时为零，这时位置坐标和动量就可以同时测定，经典力学理论仍然适用。

【例18－1】 由玻尔的氢原子理论算得氢原子中电子的运动速率为2．2×106 m／s，若其不确定量为1．0%，求电子位置的变化范围。

解 根据不确定关系可得电子位置的不确定量为

此值已超出原子的线度（10－10 m）。所以，对原子中的电子而言，说它有确定的位置同时又有确定的速率是没有意义的。显然，由于微观粒子的波动性，核外电子轨道的概念也是没有意义的。

【例18－2】 （1）质量m＝10－2 kg的乒乓球，其直径d＝5cm，vx＝200m／s，Δx＝10－6 m，可以认为其位置是完全确定的，其动量是否完全确定呢？

（2）一电子以vx＝1．0×106 m／s的速率穿过晶体，Δx＝d＝0．1nm，其动量是否确定呢？

解 （1）乒乓球动量的不确定量的最小值为

由于乒乓球动量的不确定量远远小于乒乓球的动量，可以认为其动量是完全确定的，即宏观粒子的动量和坐标是可以同时确定的。

（2）电子速率的不确定量的最小值为

由计算可知电子速率的不确定量比电子本身的速率还要大，因此电子的动量是不确定的，此时不能用经典力学的方法来描述电子的运动情况，而应该用量子力学的方法来处理。