如何求势阱内的最大概率

在金属中运动的自由电子、原子核中的质子等，它们的运动都被限制在一个很小的空间内，经近似和简化后，抽象出一维无限深势阱模型。一维无限深势阱模型是解释金属物理性质的基础。

设在一维空间运动的粒子，其势能函数为

其势能曲线如图18－3－1所示，故称为一维无限深势阱。粒子只能在宽度为a的两个无限高阱壁之间自由运动。

图18－3－1 一维无限深势阱

（1）根据给定的势能函数列出定态薛定谔方程。

在势阱外（x≤0，x≥a）：

在势阱内

（2）求定态薛定谔方程的通解。

在势阱外，U（x）＝∞，从而ψ（x）＝0。ψ（x）＝0表示势阱无限高时，能量有限的粒子不可能出现在势阱外。

在势阱内，将式（18－3－3）变形得

令k2＝，则有

上述微分方程的通解为

式中，A、k、δ为三个待定系数，需要三个约束条件来确定。

（3）利用波函数的标准条件和归一化条件来确定通解中的待定系数。

根据波函数的连续性条件，在x＝0和x＝a处波函数连续。

当x＝0时，ψ（x）＝0，可得Asinδ＝0，即δ＝0。

当x＝a时，ψ（x）＝0，可得Asinka＝0，此时不能取A＝0，否则波函数只能得到零解，那么只有sinka＝0，从而得出ka＝nπ（n＝1，2，3，…），即

势阱内粒子的波函数为

其中n只取正整数，n＝0时，ψ≡0，无物理意义；n取负整数时不能给出新的量子态。

根据波函数的归一化条件（粒子在势阱内出现的总的概率为1）可求得归一化系数A。

解之得

这样势阱内粒子的定态波函数为

所对应的定态能量为

式中，n称为能量量子数，可取不同的值，分别对应不同的定态；En是粒子处于ψn态时的定态能量。通常，ψn（x）称为能量本征函数，En称为能量本征值，粒子所处的状态称为能量本征态。

由此可见，在一维无限深势阱中运动的粒子的能量只能取一些分立的能级，即能量是量子化的。能量最低的态为基态，能量较大的态为激发态。

当n＝1时，粒子处于能量最低的基态，基态能量为

这一能量也称为零点能，零点能E1≠0，表明束缚在势阱中的粒子不会静止。

另外，势阱中粒子处于各能级的概率密度为

图18－3－2为对应于能量本征值E1、E2、E3和E4的波函数以及相应的概率密度。

图18－3－2 一维无限深势阱中粒子的波函数和概率密度