响应曲面法实验设计

响应曲面法（Response Surface Methodology，RSM），是数学方法和统计方法结合的产物，用来对感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析，最终达到优化该响应值的目的。其是利用合理的实验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法。

响应曲面法的适用范围：①　确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；②　因素个数为2～7个，一般不超过4个；③　所有因素均为计量值数据；④　实验区域已接近最优区域；⑤　基于2水平的全因子正交实验。

响应曲面法的优点：考虑了实验随机误差；响应曲面法将复杂的未知函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型拟合，计算比较简单，可降低开发成本、优化加工条件、提高产品质量，是解决生产过程中的实际问题的一种有效方法；与前面的正交实验相比，其优势是在实验条件优化过程中，可以连续地对实验的各个水平进行分析，而正交实验只能对一个个孤立的实验点进行分析。

响应曲面法的局限性在于，在使用响应曲面法分析数据前，应当确立合理的实验的各因素和水平。因为响应曲面法分析优化的前提是设计的实验点应包括最佳的实验条件，如果实验点的选取不当，那么实验响应曲面法就不能得到很好的优化结果。因此，在使用响应曲面法之前，应当确立合理的各实验因素和水平。

进行响应曲面分析的步骤为：①　确定因素及水平，注意水平数为2，因素数一般不超过4个，因素均为计量值数据；②　创建“中心复合”或“Box-Behnken”实验设计；③　确定实验运行顺序；④　进行实验并收集数据；⑤　分析实验数据；⑥　设置优化因素的水平。

在确定合理的各实验因素与水平时，应结合文献报道，采用多种实验设计的方法，常用的方法有：①　利用已有文献报道的结果，确定响应曲面法实验的各因素与水平；②　使用单因素实验，确定响应曲面法实验的各因素与水平；③　使用爬坡实验，确定响应曲面法实验的各因素与水平；④　使用两因子设计实验，确定响应曲面法实验的各因素与水平。

在确定了实验的各因素与水平后，下一步进行实验设计。可以进行响应曲面分析的实验设计有多种，但较常用的方法主要有Central Composite Design-响应曲面优化分析和Box-Behnken Design-响应曲面优化分析。实验设计中，实验点分为中心点、立方点和轴向点。

Central Composite Design，简称CCD，即中心组合设计，也称为星点设计。其实验表是在两因子设计实验的基础上加上极值点和中心点构成的，通常实验表是以代码的形式编排的，实验时再转化为实际操作值，一般水平取值为（0，±1，±α ）编码，其中0为中值，α 为极值，α =F1/4（F为因子设计的部分实验次数，F=2k或F=2k/2，k为因素数）。一般5因素以上采用，实验表由以下3个部分组成：

（1） 2k或2k/2因子设计。

（2） 极值点。由于两水平因子设计只能用作线性考察，需再加上第二部分极值点，才适合于非线性拟合。如果以坐标表示，那么极值点在相应坐标轴上的位置称为轴点（Axial Point）或星点（Star Point），表示为（±α，0，…，0），（0，±α，…，0），…，（0，0，…，±α），星点的组数与因素数相同。

（3） 一定数量的中心点重复实验。中心点的个数与CCD设计的特殊性质，如正交（Orthogonal）或均一精密（Uniform Precision）等有关。

CCD实验安排表见表2-12。

表2-12　正交或均一精密CCD实验安排表

Box-Behnken Design，简称BBD，也是响应曲面优化分析法常用的实验设计方法，适用于2～5个因素的优化实验。其设计表安排以3因素为例（3因素用A、B、C表示），见表2-13，其中0为中心点，+1、-1分别是立方点相对应的高值和低值。实验设计的均一性等性质仍以3因素为例，BBD的实验点分布情况见图2-6。

图2-6　3因素BBD的实验点分布情况

表2-13　三因素BBD实验安排表

对更多因素的BBD实验，若均包含3个重复的中心点，则4因素实验对应的实验次数为27次，5因素实验对应的实验次数为46次。因素增多，实验次数成倍增长，故在对BBD设计之前，进行因子设计对减少实验次数是很有必要的。

按照实验设计安排实验，得出实验数据，下一步即是对实验数据进行响应曲面分析。响应曲面分析主要采用的是非线性拟合的方法，以得到拟合方程。最为常用的拟合方法是采用多项式法，简单因素关系可以采用一次多项式，含有交互作用的可以采用二次多项式，一般使用的是二次多项式；更为复杂的因素间交互作用可以使用三次或更高次数的多项式。

根据得到的拟合方程，可采用绘制响应曲面图的方法获得最优值，也可采用方程求解的方法获得最优值。另外，使用一些数据处理软件，如Design-Expert软件，也可以方便地得到最优化结果，如图2-7所示。

图2-7　响应面分析的立体图

响应曲面分析得到的优化结果是一个预测结果，需要做实验加以验证。如果根据预测的实验条件能够得到相应的与预测结果一致的实验结果，则说明进行响应曲面分析是成功的；如果不能够得到与预测结果一致的实验结果，则需要改变响应面方程，或是重新选择合理的实验因素与水平。