误差理论及其处理

1.2.1　测量误差

由测量者采用某种方法、用某种测量仪器将待测量与标准量进行比较，从而确定该待测量是标准量的多少倍的操作过程称为测量。测量结果数值的大小与所选用的单位有关。因此，表示一个被测对象的测量值时必须包括数值和单位。

对物理量的测量按测量方式通常可分为直接测量和间接测量；按测量条件的不同可分为等精度测量和不等精度测量。

被测量在一定条件下的真实大小，称为该量的真值，而把某次对它测得的值称为测量值。由于被测量的真值是无法测得的，不管使用多么精密的仪器，测量出来的结果总是真值的近似值，所以任何测量都存在误差。

测量误差大小反映了测量结果的准确程度。测量误差分为绝对误差和相对误差。若某物理量的测量值为x，真值为a，则绝对误差δ=x-a ，相对误差E=×100%。

1.2.2　误差的分类

由于实验方法、仪器精度、环境条件的不同，误差存在于一切科学实验和测量过程中。误差按其性质和产生的原因可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.系统误差

在相同条件下多次测量同一物理量时，测量误差的大小和符号始终保持恒定，或者按某种确定的规律变化，这种误差称为系统误差。

系统误差按产生原因的不同可分为以下几种：

（1）仪器误差。

（2）方法误差。

（3）个人误差。

（4）环境条件误差。

国家技术标准或检定规程规定的计量器具最大允许误差或允许基本误差，经适当的简化称为仪器示值误差（限），用Δm表示。它代表在正确使用仪器的条件下，仪器示值与被测量真值之间可能产生的最大误差的绝对值，是由于仪器本身缺陷或没有按规定条件使用仪器造成的。

常用仪器误差（限）举例如下：

（1）游标卡尺，仪器示值误差一律取卡尺分度值。

（2）螺旋测微计，量程在0～25 mm及25～50 mm的一级千分尺的仪器示值误差均为0.004 mm。

（3）天平的示值误差，本书约定天平标尺分度值的一半为仪器的示值误差。

（4）电表的示值误差，Δm=量程×准确度等级%。

（5）数字式仪表，误差示值取其末位数最小分度的一个单位。

（6）仪器示值误差或准确度等级未知，可取其最小分度值的一半为示值误差。

（7）电阻箱、电桥等，示值误差用专用公式计算。

理论或方法误差是由于实验所依据的理论公式为近似公式或者实验条件达不到理论要求等而引起的，如单摆测重力加速度时所用公式的近似性、伏安法测电阻时没有考虑电表内阻的影响等。个人误差是由实验人员生理或心理特点所造成的误差，如使用停表计时时，总是超前或滞后、用仪表读数时总是偏向一方斜视等。环境条件误差是由于实验的外部环境，如温度、湿度、光照等与仪器要求的环境条件不一致而引起的误差。

系统误差产生的原因往往是可知的，它的出现一般是有规律的。依靠多次重复测量一般不能发现系统误差的存在。

2.随机误差

由于偶然的或不确定的因素所造成的每一次测量值无规则的涨落，称为随机误差。随机误差也称为偶然误差。在相同条件下测量同一物理量，测量误差的大小和正负完全是随机变化的。随机误差初看起来显得毫无规律，但当测量次数足够多时，随机误差的大小以及正负误差的出现都是服从某种统计规律的。

随机误差主要是由于测量过程中一些随机的或不确定的因素所引起的。测量过程中随机误差的出现带有某种必然性和不可避免性。实践证明，绝大多数随机误差是服从正态分布（高斯分布）规律的，即对于大多数物理测量，随机误差具有以下性质。

（1）单峰性。绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小。

（2）对称性。大小相等、符号相反的误差出现的概率相等。

（3）有界性。绝对值非常大的正、负误差出现的概率趋于0。

（4）抵偿性。当测量次数趋近于无限多时，由于正、负误差互相抵消，各误差的代数和趋于零。

3.粗大误差

这是一种明显超出统计规律预期值的误差。这类误差具有异常值。它是由于实验者使用仪器方法不正确，或粗心大意读错、记错测量数据，或实验条件突变等原因造成的。在实验测量中要极力避免过失错误，在数据处理中应将粗大误差剔除掉。

坏值的剔除可以参考拉依达准则（要求样本n＞9），即|-|＞3S(x)为粗差，xi为坏值应剔除。其中，()Sx为实验标准差，有

例1-1　对某物体进行15次测量，测量值为：

检测是否有坏值。

所以11.30为坏值，应剔除。余下的数据继续检验：

14个测量值均满足|-|＜3S(x)=0.054条件，无坏值。

对测量结果的好坏，往往用准确度、精密度和精确度来评价，但这是3个不同的概念，使用时应加以区别。

（1）准确度。表征测量结果的系统误差的大小，即测量结果对真值的偏离大小。

（2）精密度。表征测量结果随机误差的大小，即对同一物理量在相同的条件下多次测量所得的各测量值相互接近的程度。

（3）精确度。表征对准确度和精密度的综合评价。表示测量结果中系统误差与偶然误差的综合大小的程度。

下面以打靶为例，来形象地说明这3个概念之间的区别。图1-1（a）表示的子弹比较集中，但都偏离靶心，说明射出的精密度高，但准确度较低；图1-1（b）表示子弹比较分散，但是它们的中心位置比较接近靶心，说明射击的准确度高，但精密度较低；图1-1（c）表示子弹比较集中。

图1-1　测量的精密度、准确度和精确度图示

（a）精密度；（b）准确度；（c）精确度