平滑函数的性质

引理7.1：若f（x）在x附近可微，∇f（x）≠0，则当δ＞0充分小时，－Δy≠0，且－Δy为f（x）在x处的一个下降方向，其中，∇f（x）为f（x）在x处的梯度。

证明：因为∇f（x）≠0，所以－∇f（x）为f（x）在x处的一个下降方向。由f（x）在x处可微知，当δ＞0充分小时，由中值定理有

即f（x＋δ（－Δy））＜f（x），所以－Δy为f（x）在x处的一个下降方向。

又 因为∇f（x）≠0，由引理1知，－Δy为f（x）在x处的一个下降方向，因而也是F（x，）在x处的一个下降方向。

（注：由引理7.2知，若F（x，）＜f（），且‖Δy‖≠0时，－Δy为F（x，）在x处的一个降方向，可沿此方向找到更好点。）

引理7.3：设f（x）在x处可微，∇f（x）＝0，x为f（x）的一个严格极值点，若F（x，）≥f（）（此时F（x，）＝f（）），且对某个Δx∈Rn，∃λ＞0，当∀δ∈（0，λ）：

（1）若F（x＋δΔx，）≥F（x，），则在x附近，F（x，）恒为常数f（）；

（2）若F（x＋δΔx，）＜F（x，），则x为F（x，）的一个局部极大点。

证明：（1）若x为f（x）的一个严格局部极小点，则∃x的一个邻域Nε（x），使当z∈Nε（x）时，有f（z）＞f（x），而由F（x，）≥f（）知，f（x）≥f（）＝F（x，），所以f（z）≥f（）＝F（x，），所以F（z，）＝f（）＝F（x，），即在x附近，F（x，）恒为常数；若x为f（x）的一个严格局部极大点，因为F（x，）≥f（），所以f（x）≥f（）＝F（x，），若f（x）＝f（），因x为f（x）的一个严格局部极大点，所以∃λ＞0使对∀Δg∈Rn，‖Δg‖≤λ时，有f（x＋Δg）＜f（）。取δ充分小，使‖δΔx‖≤λ，则f（x＋δΔx）＜f（），所以F（x＋δΔx，）＝f（x＋δΔx）＜f（）≤F（x，），这与题设矛盾，故f（x）＞f（），由f（x）在x处连续知，∃x的一个邻域Nε（x），使当z∈Nε（x）时，有f（z）＞f（），故F（z，）＝f（）＝F（x，），即，在x附近，F（x，）恒为常数。

（2）因为F（x，）≥f（），所以f（x）≥f（）＝F（x，），若x为f（x）的一个局部极小点，则∃λ＞0，使对∀Δg∈Rn，‖Δg‖＜λ，有f（x＋Δg）≥f（x），所以F（x＋Δg，）＝F（x，），但由题设知，∃λ＞0充分小及Δx∈Rn，当∀δ∈（0，λ），有F（x＋δΔx，）＜F（x，），矛盾，故x为f（x）的一个严格局极大点；若f（x）＞f（），因为f（x）在x连续，所以∃λ＞0使对∀Δg∈Rn，‖Δg‖≤λ时，有f（x＋Δg）≥f（），取δ充分小，使‖δΔx‖≤λ，则f（x＋δΔx）≥f（），所以F（x＋δΔx，）＝f（x＋δΔx）≥f（）＝F（x，），这与题设矛盾，故f（x）＝f（），由x为f（x）的一个严格局部极大点知，∃x的一个邻域Nε（x），使当z∈Nε（x）时，有f（z）＜f（x）＝f（），故F（z，）＝f（z）＜f（）＝F（x，），即x为F（x，）的一个局部极大点。

（注：由此引理7.3的情形（1）知，在‖∇f（x）‖很小的情形下，若在x附近沿某一方向无法减小F（x，），则在x附近F（x，）恒为常数，可放弃在此点附近搜索；而在情形（2）中，若在x附近搜索，可进一步减小F（x，），从而可找到更好点。）

引理7.4：若f（x）在x处可微，∇f（x）≠0，若F（x，）≥f（），则

（1）当f（x）＞f（）时，在x附近，F（x，）为常数；

（2）当f（x）＝f（）时，－Δy是F（x，）在x处的一个下降方向。

证明：（1）当f（x）＞f（）时，由f（x）在x处连续知，∃x的一个邻域Nε（x），使当z∈Nε（x）时，有f（z）＞f（），故F（z，）＝f（）＝F（x，），即在x附近，F（x，）为常数。

（2）若f（x）＝f（），由于∇f（x）≠0，由引理1知，－Δy为f（x）在x处的一个下降方向。所以∃λ＞0，当δ∈（0，λ）时，有f（x＋δd）＜f（x），其中d＝－Δy，所以F（x＋δd，）＝f（x＋δd）＜f（x）＝f（）＝F（x，），因此－Δy是F（x，）在x处的一个下降方向。

（注：由此引理知，若∇f（x）≠0，且F（x，）≥f（），则当f（x）＞f（）时，沿－Δy方向搜索时步长可大一些，而当f（x）＝f（）时，步长可小一些。）。

一维搜索是从某个点出发，沿某个方向寻找函数最优点的方法，它是加快最优化方法收敛的一种基本和有效的技术。由以上几个引理可看出，在引理7.2、引理7.3及引理7.4的情形下，若在x处沿适当方向进行一维搜索，可得出比x更好的点。据此，可设计如下基于一维搜索的杂交算子。