各式各样的数学题

20.各式各样的数学题

泥板上的

古代巴比伦王国的位置，在西亚底格里斯河和幼发拉底河的中下游地区，现在的伊拉克境内，巴比伦国家建立于公元前19世纪，是世界四大文明古国之一。

巴比伦人使用特殊的楔形文字，他们把文字刻在泥板上，然后晒干，泥板晒干后和石头一样坚硬，可以长期保存。

从发掘出来的泥板上，人们发现了3000多年前巴比伦人出的数学题：

“10个兄弟分100两银子，一个人比一个人多，只知道每一级相差的数量都一样，但是究竟相差多少不知道，现在第八个兄弟分到6两银子，问一级相差多少？”

如果10个兄弟平均分100两银子，每人应该分10两，现在第八个兄弟只分到了6两，说明老大分得最多，往下是一个比一个少。

按着题目所给定的条件，应该有以下关系：

老二得到的是老大减去一倍的差，

老三得到的是老大减去二倍的差，

老四得到的是老大减去三倍的差，

……

老十得到的是老大减去九倍的差。

这样，老大与老十共得银两

＝老二与老九共得银两

＝老三与老八共得银两

＝老四与老七共得银两

＝老五与老六共得银两

＝20两

已知老八得6两，可求出老三得20－6＝14两，老三比老八多得14－6＝8，另一方面，老三与老八相差7－2＝5倍的差，因此，

差＝8÷5＝1.6（两）

答：一级相差1.6两银子。

巴比伦的数学和天文学发展很快，他们除了首先使用60进位制外，还确定一个月（月亮月）有30天，一年（月亮年）有12个月亮月，为了不落后太阳年，在某些年里用规定闰月的办法来纠正。

巴比伦人了解行星的存在，他们崇拜太阳、月亮、金星，把数3看作是“幸福的”，晚些时候，他们又发现了木星、火星、水星、土星，这时数7被看作是“幸福的”。

巴比伦人特别注意研究月亮，把弯月的明亮部分与月面全面积之比，叫做“月相”，在一块泥板上记载有关月相的题目：

“设月亮全面积为240，从新月到满月的15天中，头5天每天都是前一天的2倍，即5，10，20，40，80，后10天每天都按着相同数值增加，问增加的数值是多少？”

月亮全面积为240，第五天月亮面积为80，后10天月亮共增加的面积为240－80＝160。

因此，每天增加的数值为160÷10＝16。

答：增加的数值为16。

纸草上的

《兰特纸草书》是4000年前古埃及人的一本数学书，上面用象形文字记载了许多有趣的数学题，比如：

在7，7×7，7×7×7，7×7×7×7，7×7×7×7×7，……

这些数字上面有几个象形符号：房子、猫、老鼠、大麦、斗，翻译出来就是：

“有7座房子，每座房子里有7只猫，每只猫吃了7只老鼠，每只老鼠吃了7穗大麦，每穗大麦种子可以长出7斗大麦，请算出房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数。”

奇怪的是古代俄罗斯民间也流传着类似的算术题：

“路上走着七个老头，

每个老头拿着七根手杖，

每根手杖上有七个树杈，

每个树杈上挂着七个竹篮，

每个竹篮里有七个竹笼，

每个竹笼里有七个麻雀，

总共有多少麻雀？”

古俄罗斯的题目比较简单，老头数是7，手杖数是7×7＝49，树杈数是7×7×7＝49×7＝343，竹篮数是7×7×7×7＝343×7＝2401，竹笼数是7×7×7×7×7＝2401×7＝16807，麻雀数是7×7×7×7×7×7＝16807×7＝117649。总共有十一万七千六百四十九只麻雀，七个老头能提着十一万多只麻雀溜弯儿，可真不简单啊！若每只麻雀按20克算，这些麻雀有2吨多重。

《兰特纸草书》上在猫吃老鼠、老鼠吃大麦的问题后面有解答，说是用2801乘以7。

求房子、猫、老鼠、大麦和斗的总数，就是求和7＋7×7＋7×7×7＋7×7×7×7＋7×7×7×7×7＝7＋49＋343＋2401＋16807＝19607。这同上面2801×7＝19607的答数一样，古代埃及人在4000多年前就掌握了这种特殊的求和方法。

类似的问题在一首古老的英国童谣中也出现过：

“我赴圣地爱弗西，

途遇妇子数有七，

一人七袋手中提，

一猫七子紧相依，

妇与布袋猫与子，

几何同时赴圣地？”

意大利数学家斐波那契在1202年出版的《算盘书》中也有类似问题：

“有7个老妇人在去罗马的路上，每个人有7匹骡子；每匹骡子驮7只口袋，每只动袋装7个大面包，每个面包带7把小刀，每把小刀有七层鞘，在去罗马的路上，妇人、骡子、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”同一类问题，在不同的时代、不同的国家以不同的形式出现，但是，时间最早的还要数古埃及《兰特纸草书》。

古埃及还流传着“某人盗宝”的题目：

这个问题的提法与现行教科书上的题目很相像，可以这样来解：

《兰特纸草书》还有这样一道题：

“有物品若干件，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共33件，求物品的件数。”

用算术法来解，可设全部为1，则物品的件数为

答案是唯一的，但是纸草书上的答案却是

这和我们算得的答案相同。

诗歌中的

希腊是世界文明古国之一，它有着灿烂的古代文化，在《希腊文集》中有一些用诗歌写成的数学题。

在“爱神的烦忧”中，爱罗斯在古代希腊神话中的爱神，吉波莉达是塞浦路斯岛的守护神，九位文艺女神中，叶芙特尔波管音乐，爱拉托管爱情诗，达利娅管喜剧，特希霍拉管舞蹈，美利波美娜管悲剧，克里奥管历史，波利尼娅管颂歌，乌拉尼娅管天文，卡利奥帕管史诗。

“爱罗斯在路旁哭泣，

泪水一滴接一滴。

吉波莉达向前问道：

‘是什么事情使你如此悲伤？

我可能够帮助你？’

爱罗斯回答道：

‘九位文艺女神，

不知来自何方，

把我从赫尔康山采回的苹果，

几乎一扫而光。

叶芙特尔波飞快抢走十二分之一，

爱拉托抢得更多——

七个苹果中拿走一个。

八分之一被达利娅抢走，

比这多一倍的苹果落入特希霍拉之手。

美利波美娜最是客气，

只取走二十分之一。

可又来了克里奥，

她的收获比这多四倍。

还有三位女神，

个个都不空手：

30个苹果归波利尼娅，

120个苹果归乌拉尼娅，

300个苹果归卡利奥帕。

我，可怜的爱罗斯，

爱罗斯原有多少苹果？还剩50个苹果。’”

这首26行的诗，给出了一道数字挺多的数学题，题目中原有苹果数不知道，经过九位文艺女神的抢劫，爱罗斯只剩下50个苹果，是“知道部分求全体类型”的数学题。

设爱罗斯原有苹果数为x。

依题意，得

＋30＋120＋300＋50＝x

∴x＝33600（个）

下面的“独眼巨人”中给出了另一种类型的数学题：

“这是一座独眼巨人的铜像，

雕塑家技艺高超，

铜像中巧设机关：

巨人的手、口和独眼，

都连接着大小水管，

通过手的水管，

三天流满水池；

通过独眼的水管——需要一天；

从口中吐出的水更快，

五分之二天就足够，

三处同时放水，

水池几时流满？”

设水池的容积为1，三管同开流满水池所需时间为x天，

下面是我国的一首打油诗：

“李白提壶去买酒：

遇店加一倍，

见花喝一斗。

三遇店和花，

喝光壶中酒。

试问壶中原有多少酒？”

这首打油诗的意思是，李白的壶里原来就有酒，每次遇到酒店便将壶里的酒增加一倍；李白赏花时就要饮酒作诗，每次一次喝一斗酒（斗是古代装酒的器具），这样反复经过三次，最后将壶中的酒全部喝光，问李白原来壶中有多少酒？

解这道题最好使用反推法来解：

遗嘱里的

在按遗嘱分配遗产的问题中，有许多有趣的数学题。

设总遗产为x卢布。

解得：x＝20625。

结果是女儿分得最多，得8250卢布，儿子次之，得6875卢布，母亲分得最少，得3000卢布，看来父亲是喜爱自己的女儿。

看完父亲的遗嘱，三个儿子犯了愁，17是个质数，它既不能被2整除，也不能被3和9整除，又不许杀羊来分，这可怎么办？

聪明的邻居得到这个消息后，牵着一只羊跑来帮忙，邻居说：“我借给你们一只羊，这样18只羊就好分了。”

合在一起是9＋6＋2＝17，正好17只羊，还剩下一只羊，邻居把它牵回去了。

羊被邻居分完了。再深入想一想这个问题，我们会发现遗嘱中不合理的地方，如果把老人留的羊做为整体1的话，由于

再看一道有关遗嘱的题目：

说也凑巧，他妻子生下的却是一男一女双胞胎，这一下财产将怎样分？

可以按比例来解：

由此可知女儿、妻子、儿子的分配比例是2∶3∶6，按这个比例分配就合理了。

民谣中的

在世界各地流传着一些用民谣形式写成的数学题。

美国民谣：

“一个老酒鬼，名叫巴特恩，

吃肉片和排骨共用钱九角四分，

每块排骨一角一，每片肉价只七分，

连排骨带肉片吃了整十块哟，

问问你：

吃了几块排骨几片肉，我们的巴特恩？”

可以这样来解算：

假设巴特恩吃的是十片肉片的话，他一共花70分钱，用94分减去70分，得差24分，这24分钱是什么呢！

由于巴特恩吃的不都是肉片，有排骨，而一块排骨比一片肉片贵11－7＝4分，这24分是排骨和肉片差价得到的，可以求出巴特恩吃的排骨数：

（94－7×10）÷（11－7）

＝24÷4＝6（块）

10－6＝4（片）

巴特恩吃了六块排，四片肉片。

中国也有类似的民谣：

“一队强盗一队狗，

二队并作一队走，

数头一共三百六，

数腿一共八百九，

问有多少强盗多少狗？”

这道题和《孙子算经》中的“鸡兔同笼”是同一种类型题，只不过，把鸡换成强盗，把兔换成狗就是了，具体算法是

（360×4－890）÷（4－2）＝275

360－275＝85　　　　　　　　　

强盗有275人，狗有85条。

还有首中国民谣：

“几个老头去赶集，

半路买了一堆梨，

一人一个多一个，

一人两个少两梨。

究竟有几个老头、几个梨？”

设人数为x，则梨为x＋1个，依题意，得：

2x＝（x＋1）＋2，

x＝3，

x＋1＝4

“寒鸦与树枝”是一首俄罗斯的民谣：

“飞来几只寒鸦，

落到树枝上停歇。

要是每支树枝上

落下一只寒鸦，

那么就有一只寒鸦

缺少一支树枝；

要是每支树枝上

落下两只寒鸦，

那么就有一支树枝

落不上寒鸦。

你说共有几只寒鸦？

你说共有几支树枝？”

可以这样来解：

如果每支树枝上落两只寒鸦，比每支树枝落一只寒鸦共多出2＋1＝3只寒鸦，而这时每支树枝上所落寒鸦只数的差是2－1＝1只。

用多出来的寒鸦数除以每支树枝寒鸦数，就等于树枝数。

因此，

（2＋1）÷（2－1）

＝3÷1＝3（支）

寒鸦数为3＋1＝4（只）。

答案是有3支树枝，4只寒鸦。

下面这首民谣也很有趣，是中国民谣：

“牧童王小良，放牧一群羊。

问他羊几只，请你细细想。

头数加只数，只数减头数。

只数乘头数，只数除头数。

四数连加起，正好一百数。”

其实头数和只数是一回事，因此，只数减头数得0，只数除头数得1。这样一来，有：只数×只数＋2×只数＝99。

使用试验法，可得只数等于9，因为

9×9＋2×9＝99，故羊有9只。