二元一次方程与一次函数教学实录与评析

二元一次方程与一次函数教学实录与评析

摘　要:备好课是上好课的前提，形势的变化需要教师根据变化了的形势来组织课堂教学。教学中我们提倡教师为主导，学生为主体。教师的主导地位是决定课堂教学能否高效的关键，教师能否提出合适的问题，让学生的思维动起来是衡量课堂教学成功与否的标准。具有数形结合的意识和能力是初中数学学习的一项重要内容。本节课要学生得出二元一次方程与一次函数的关系并利用这一关系来解决问题是相对困难的，教师在教学过程中要设计层层递进的问题来启发引导学生，通过让学生动手操作、合作交流来激发其学习兴趣，调动其学习的积极性和主动性。

关键词:二元一次方程与一次函数;教学实录;教学评析;自主学习;合作学习;实践探究。

授课背景

2012年11月21日，县教育局组织市县两级“教坛精英”送课下乡，我被安排到距县城20多公里的临卜镇中学去执教，本镇和周边5个乡镇的初中数学教师约60多人参与听课。授课班级有46位学生，校长介绍说班里学生基础较差，要教会他们很难，同时多媒体教室出了故障，无法使用。上午八点与学生见面时，我发现学生还真像校长说的那样:有的学生没有三角板或者直尺，全班没有一人有坐标纸。为使教学顺利进行，我动员学生之间相互借三角板或者直尺，保证每人有一种，同时临时决定改变授课思路，根据学生的实际情况组织课堂教学。课后组织了集体评课活动。

教材与教学内容

北师大版教科书八年级(上)第七章第六节内容。

内容分析

本节内容共安排两个课时完成，本节课为第一课时。该节内容是二元一次方程(组)与一次函数及其图象的综合应用。通过探索“方程”与“函数图象”的关系，培养学生数学转化的思想，通过二元一次方程方程组的图象解法，使学生初步建立“数”(二元一次方程)与“形”［一次函数的图象(直线)］之间的对应关系，进一步培养学生数形结合的意识和能力。本节要注意的是由两条直线求交点，其交点的横纵坐标为二元一次方程组的近似解，要得到准确的结果，应从图象中获取信息，确立直线对应的函数表达式即方程，再联立方程应用代数方法求解，其结果才是准确的。

教学理念

自主学习与合作学习相结合，通过教师巧妙地设疑激发学生学习数学的兴趣。

教学目标

(1)使学生在自主探索中通过验证二元一次方程解的情况及绘制一次函数的图象理解二元一次方程和一次函数的关系;

(2)通过探究二元一次方程和一次函数的对应关系，利用类比掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系;

(3)发展学生数形结合的意识和能力，掌握二元一次方程组的图象解法及两条相交直线交点的求法。

(备课时我将教学目标分成三大部分，即过程与方法目标、知识与技能目标、情感态度与价值观目标。通过了解学生，我发现先前制定的教学目标根本无法实现，只好将教学目标降低，把三维目标加以归纳融合成以上三条教学目标。)

教学重点

(1)二元一次方程和相应一次函数的关系;

(2)二元一次方程组和相应的两条直线的关系。

教学难点

数形结合和数学转化的思想意识。

课前准备

教具:小黑板、三角板。

(备课时准备了多媒体课件，到授课地点后才发现多媒体教室出了问题，无法使用，只好改用小黑板了。)

学具:铅笔、直尺、练习本、坐标纸。

(学生没有坐标纸，只好去掉。)

教学过程

师:同学们，今天咱们上一节作文课。

【评析】面对基础较差、学习兴趣不浓的学生，借班上课，为了吸引学生，临时决定这样引入课题，效果还真不错，一下子抓住了学生，学生都很惊讶:通知上说上一节数学课，怎么改成作文课了?没搞错吧。

作文的题目是“二元一次方程与一次函数”。

(教师板书课题:二元一次方程与一次函数。)

师:现在同学们如果以“二元一次方程与一次函数”为题组织一篇作文，你会如何写?

生:写什么是“二元一次方程和一次函数”。

生:题目是“二元一次方程与一次函数”，应该写它们的不同之处。

生:应该写它们的关系。

生:应该重点写它们二者的区别和联系。

【评析】由于引入巧妙，一下子抓住了学生的好奇心，学生回答很踊跃。同时也把本节课的教学目标和教学重点告诉了学生。

师:同学们说得很好。这节课我们就一起来研究它们之间的区别和联系，找出它们之间的关系。

这里有一个式子(教师板书:x+y=5)，它是什么?

生:它是一个等式。

生:它是一个方程。

师:对，它是一个什么方程呢?

生众:二元一次方程。

师:很好。再看这样一个式子(教师板书:y=－x+5)，它又是什么呢?

生众:它是一个一次函数。

生:它也是一个二元一次方程。

师:说得很好。你们是依据什么又把二元一次方程y=－x+5说成是一次函数呢?

生:二元一次方程和一次函数的概念。

师:很好。谁来说说二元一次方程的概念?

生:含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫作二元一次方程。

师:哪位同学说说一次函数的概念?

生:如果两个变量x，y间的关系可以表示成y=kx+b(k≠0k，b是常数)的形式，就说y是x的一次函数。

师:从这两位同学的回答中我们知道了什么?

生:二元一次方程与一次函数的区别。

师:很好。像y=－x+5，它既是一个二元一次方程又是一个一次函数。我们把x+y=5和y=－x+5放在一起观察，你能发现什么?

生:它们通过变形就可以相互得到。

师:很好。在这里我们把x+y=5称为函数y=－x+5相应的方程，把y=－x+5称为方程x+y=5相应的函数。

同学们再想一想，我们研究方程除了研究概念以外还研究它们的什么?

生:方程的解。

师:研究一次函数重点研究什么?

生:一次函数的图象。

师:好。下面请同学们说一下二元一次方程x+y=5有多少组解?

生众:很多。

师:是很多么?

【评析】学生回答“很多”不准确，及时加以纠正，体现了数学语言的严谨性。

生:无数组。

(学生很容易得出“都是”的结论。)

生众:都是。

师:下面请同学们在课本第189页第三题所给的坐标系里标出(0，5)、(1，4)、(3，2)。

(学生在课本上标示，教师巡视。)

【评析】由于学生没有坐标纸，先前的设计只好放弃，改用课本上现成的坐标系，也不失为一种明智的选择。

师:再请同学们在这个坐标系上画出一次函数y=－x+5的图象。

(学生试着画一次函数y=－x+5的图象，巡视中发现有17位学生不会画，有6位学生画得不准确，学生的基础是差了些，临时决定前后位4人一组合作完成，老师个别辅导。)

【评析】画一次函数的图象是学生的基本功，安排学生自主学习探究是合理的，巡视中发现问题后及时变学生自主学习为合作学习，体现了教师的课堂应变能力。

师:通过画函数图象同学们发现了什么?

生:一次函数y=－x+5的图象经过这三个点。

生:这三个点都在一次函数y=－x+5的图象上。

师:同学们说得很好。再联系刚才我们谈到的

都是方程x+y=5的解这个情况，你又发现了什么?

生:以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。

(老师板书:以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。)

师:很好。下面请同学们在你们所画的一次函数y=－x+5的图象中任意找一个点，看看它的坐标满足方程x+y=5吗?

生众:满足方程。

生:我的不满足。

(此时也有一些学生回答不满足，存在分歧。)

师:同学们之间讨论，分析存在分歧的原因。

(前后位4人一组讨论、探究、交流。)

生:老师，他画得不准，误差太大。

(分歧的原因找到了。)

师:是的，通过画图可能会有误差，得出不同的结果，我们要想办法尽量减少误差。再回到我们刚才提出的问题，你发现了什么重要的信息?

生:一次函数图象上的点的坐标都满足相应的二元一次方程。

(老师板书:一次函数图象上的点的坐标都满足相应的二元一次方程。)

师:好，到这里我们就学习了二元一次方程与一次函数的图象的关系，正是刚才两位同学总结的:

(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上;

(2)一次函数图象上的点的坐标都满足相应的二元一次方程。

请同学们记住这两条重要的结论。

师:下面我们就研究一个二元一次方程组与相应的两个一次函数之间的关系。

先请同学们解方程组:

(学生自主解决，教师巡视，发现有8位同学不会解，5位同学解错，个别辅导完成。)

师:相信同学们都解出来了，那么你们都采用了什么方法?

生:代入消元法。

生:加减消元法。

师:很好。现在老师有一个特别的要求，如果不让你们采用代入消元法和加减消元法，同学们看看能不能用其他办法来解这个方程组?

(同学们分组讨论，感觉得出解决思路有困难。)

师:同学们知道这个方程组中的两个方程相应的一次函数都是什么吗?

生:可以通过变形得到。

(学生分别完成变形。)

师:请同学们考虑能不能找到这样一个点——它既在一次函数y=－x+5的图象上又在一次函数y=2x－1的图象上。

生:可以在同一坐标系中分别画出一次函数y=－x+5的图象和一次函数y=2x－1的图象。

师:好。请同学们画一画试试看。

(学生动手在同一坐标系中分别画出一次函数y=－x+5的图象和一次函数y=2x－1的图象，然后标出了交点坐标。)

师:请同学们比较交点坐标与刚才所求的方程组的解，你发现了什么?

生:可以通过画图象来解二元一次方程组。

师:是的，很好。我们把这种通过画函数图象来解决问题的方法称为图象解法。到现在为止我们就学习了三种解二元一次方程组的方法，即代入消元法、加减消元法、图象法。

生:老师，图象法求解也有误差，不准确。

师:这位同学说得很好，利用图象法解二元一次方程组会产生误差，但是随着电脑多媒体的普及，我们很容易通过画函数图象来解方程组。我国大数学家吴文俊先生依据中国传统数字中的机械化思想，开创性地提出了用计算机证明几何定理的方法，被国外称为“吴方法”，许多数学问题可以通过计算机来解决。

(本来我在备课时准备了电脑多媒体，采用几何画板，可以非常迅速地得出方程组，的准确解，因条件不具备，只好放弃，失去了一次让学生佩服的机会，可惜。)

师:下面请同学们结合二元一次方程和一次函数的图象的关系，分组讨论一个二元一次方程组与相应的两个一次函数之间有什么关系?

(前后4人一组交流讨论，结论也基本上靠谱，最后同学之间相互补充完善得出了比较完整的结论。)

【评析】在以上研究学习的基础上让学生类比归纳，整个过程做到了让学生充分发言，把学生的思维充分调动起来。

老师把结论板书。

师:我们知道了二元一次方程组与相应的两个一次函数之间的关系，就可以利用这些关系解决某些问题，比如，我们要找出两个一次函数的交点坐标可以如何找?

生:画图象求交点。

(一学生抢答，引起听课教师和其他学生大笑，我也笑了。)

师:很好，完全可以。如果我们要准确找出两个一次函数的交点坐标呢?

(学生思考，教师巡视发现学生回答有困难。)

师:画图象会有误差，要准确找出交点坐标利用画图象显然不太合适，数学是运算的科学，我们能不能通过运算解决呢?

生:可以通过解这两个一次函数相应的方程组成的方程组。

师:这位同学说得很好，给点掌声。

(掌声一片)

师:让我们看下面的例题(出示小黑板1):

如图，直线l1与_l2的交点坐标是___________。

请同学们试一下，看能不能解决?

(学生思考，教师巡视，发现学生学习有困难，三分钟后启发引导:根据刚才我们的总结，要求两条直线的交点坐标可以转化为求什么?怎样求出这两条直线对应的函数表达式呢?每条直线都告诉我们几个点，它们分别是什么?没想到的是在我的启发引导下绝大部分学生都能解决，只有8位同学没能解决。)

师:下面请一位同学到黑板上写出解题过程，其他同学进行监督检查。

(一位学生板演，同学之间相互补充完善，整个问题完成得非常好。)

【评析】学生有困难时，不是把方法直接告诉学生，而是用问题的形式引导学生去思考、去试着解决，这就是“不愤不启，不悱不发”。

师:请同学们在练习本上完成下列题目(出示小黑板2):

1．已知一次函数y=kx－5与y=3x+b的图象的交点为p(2，－3)，则k=______，b=______。

2．已知一次函数y=2x+a与y=－x+b的图象都经过点A(—2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则S_ΔABC的面积为()。

(A)4(B)5(C)6(D)7

3．求两条直线y=3x－2与y=－2x+4和x轴所围成的三角形面积。

4．如图，两条直线l₁与l₂的交点坐标可以看作哪个方程组的解?

(学生完成练习，教师巡视，个别学生单独辅导，最后出示答案，效果不错。)

师:现在我们共同想一想，本节课我们学习了哪些研究数学问题的办法?

【评析】这种总结方式给学生留有思维的空间，比问“同学们我们这节课都学习了什么”要好得多。

生:先从解决一个例子出发，得出了二元一次方程与一次函数的关系，然后又用这种关系去解决了类似的问题。

师:总结得很好，用一个词表达就是“从特殊到一般再从一般到特殊”。还有其他研究方法吗?

生:我们在学习了二元一次方程与相应一次函数的关系后，很容易就得出二元一次方程组与相应两个一次函数的关系。

师:用一个词表达是什么?

生:类比的方法。

生:我们还学习了一种解二元一次方程的方法——图象法。

生:我们求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标。

生:求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联立的二元一次方程组的解。

师:用一个词表达又是什么?

生:数形结合。

生:转化的想法。

师:我真为同学们高兴。给大家留几个课后思考的问题，你们可以从五个题目当中自选三个完成。谢谢同学们，再见。

【评析】用商量的语气布置作业，给学生留有自主选择的余地，体现了“以学生为本”的思想，学生得到了尊重，相信会很容易被学生接受。

【总评】

(1)我的发言摘要:谢谢校长，谢谢各位同仁，本来我准备了一节多媒体课件，由于形势发生了变化，这节课上一定有许多不足的地方，欢迎提宝贵意见，我想用一句话与大家共勉:“过程好了结果不会差，学生主动了结果会更好。”

(2)校长发言摘要:其实我们的多媒体教室不是不能用，是我们不想让你用，目的是我们想看到一节真实的好课，现在可以说我们的目的达到了。在近期的优质课、观摩课、评优课中，授课教师都有很长的准备时间，有的甚至多次试讲，这样的课与我们平时的课有很大的差距，我们不需要这样的假课;我们不反对用多媒体授课，但是我们也不主张动不动就用多媒体，一是我们农村学校的软硬件都不具备，二是其他简单易行的方法并不影响我们的授课质量。

(3)教研员发言摘要:本节课把学生作为教学的中心，能够抓住教学目标、教学重点和教学难点设置有价值的问题来启发引导学生，学生的思维真正动了起来，学生在学习的整个过程中能够做到主动去思考、主动去发现、主动去探索。但是由于我们学生的基础不是很好，又是借班上课，学生不能主动提出问题，也影响了授课质量。教师随时用“好”“很好”等语言对学生进行评价，能充分调动学生学习思考的欲望，看似简单，其实很到位。另外教师根据变化了的情况组织课堂教学并且收到了很好的效果，体现了授课教师扎实的基本功。

(4)听课教师发言摘要:我们基层教师喜欢这种不加修饰、不含水分的好课，这样的课我们听得懂、学得会、用得上，欢迎多来指导。