《几何画板》在高中数学教学应用中的实践与探索

于立群

摘　要：数学由于学科自身较为抽象的特点，学生在学习过程中往往会感觉到枯燥甚至失去学习的兴趣。如何有效借助于信息技术，增强数学的可视化，增加数学课的活动性，激发学生的兴趣，从而提高数学课堂教学效率，一直是一线数学教师追求的目标。笔者在具体教学实践中，利用《几何画板》的软件，在课堂中“借助于形，突破函数难点”，“借助于变，提高学生空间想象能力”，“借助于动，培养学生数形转换的思想”，同时还鼓励学生用此工具去进行一些探索性学习，取得了一定的实效。

关键词：几何画板　高中数学教学应用　实践与探索

《几何画板》是美国Key　Curriculum　Press公司制作的优秀教育软件，在教师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境，学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测和验证结论，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。

将《几何画板》渗透到课堂教学中

（一）借助于形，突破函数难点

【例】关于x的方程x＋lgx＝3，x＋10x＝3的根分别是α，β，则α＋β是_________。

这个题直接解两个方程的根α，β都不可能，若将两方程变形可得lgx＝3－x，10x＝3－x，因此α，β分别是y＝lgx，y＝10x与直线y＝3－x的交点横越坐标，联想到y＝lgx与y＝10x是互为反函数，利用它们的图象关系便可求解（见图3）。

图1

图2

图3

（二）借助于变，提高学生空间想象能力

大多数学生不具备丰富的空间想象能力及较强的平面与空间图形的转化能力，主要原因在于人们是依靠对二维平面图形的直观来感知和想象三维空间图形的，而二维平面图形不可能成为三维空间图形的真实写照，平面上绘出的立体图形受其视角的影响，难于综观全局，其空间形式具有很大的抽象性。如两条互相垂直的直线不一定画成夹角为直角的两条直线；正方体的各面不能都画成正方形等。这样一来，学生不得不根据歪曲真相的图形去想象真实情况，这便给学生认识立体几何图形增加了困难。而应用《几何画板》后，图形动起来了，图形中各元素之间的位置关系和度量关系变得惟妙惟肖，学生便可以从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。

在讲二面角的定义时，先由一条射线绕B点旋转，形成∠ABC，再由线平移展开形成面，这样就得到了二面角，图形的直观变动有助于学生建立空间观念，培养空间想象力，激发学生学习数学的兴趣；在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程，既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。

（三）借助于动，培养学生数形转换的思想

平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题，即它的基本思想和基本方法是：根据已知条件，选择适当的坐标系，借助形和数的对应关系，求出表示平面曲线的方程，把形的问题转化为数来研究；再通过方程，研究平面曲线的性质，把数的研究转化为形来讨论。而曲线中各几何量受各种因素的影响而变化，导致点、线按不同的方式作运动，曲线和方程的对应关系比较抽象，学生不易理解，显而易见，展示几何图形变形与运动的整体过程在解析几何教学中是非常重要的。这样，《几何画板》又以其极强的运算功能和图形图象功能在解析几何的教与学中大显身手。如它能作出各种形式的方程的曲线；能对动态的对象进行“追踪”，并显示该对象的“轨迹”；能通过拖动某一对象（如点、线）观察整个图形的变化来研究两个或两个以上曲线的位置关系。

比如，在讲椭圆的定义时，可以由“到两定点F1，F2的距离之和为定值的点的轨迹”入手，令线段AB的长为“定值”，在线段AB上取一点E，分别以F1为圆心、AE的长为半径，和以F2为圆心、AE的长为半径作圆，则两圆的交点轨迹即满足要求。先让学生猜测这样的点的轨迹是什么图形，学生各抒己见之后，老师演示图4（1），学生豁然开朗：“原来是椭圆”。这时老师用鼠标拖动点B（即改变线段AB的长），使得｜AB｜＝｜F1F2｜，如图4（2），满足条件的点的轨迹变成了一条线段F1F2，学生开始谨慎起来并认真思索，不难得出图4（3）（｜AB｜＜｜F1F2｜时）的情形。经过这个过程，学生不仅能很深刻地掌握椭圆的概念，也锻炼了其思维的严密性。

图4

再如，讲抛物线的定义及其标准方程第一课时，教师可以在机房上课，让学生自己动手去探索如何用几何画板得到抛物线的轨迹，这样既调动了学生的积极性，又让学生对抛物线的定义及标准方程有更深刻的理解，学生的能力也得到了发挥。

物无万能，恰当使用《几何画板》

一般地说，数学虽然需要直观地观察，以具体的模型作为理解的基础，但是数学更多地要依靠抽象思维，概念最终需要抽象的概括，数学规律要求进行形式化的表达，证明必须符合抽象的逻辑推理。有时候视觉化的形象可以帮助我们理解，有时候则未必，甚至帮倒忙。应避免一些利用技术代替学生能够从事的实践活动，代替学生进行思考和想象的做法。

几何画板同样也有其局限性，这一点老师在上课时，必须要向学生说明。例如，在讲指数函数图象时，图象应与x轴无限接近，但始终不能相交，而画板里的图因为显示的原因，在x很大或是很小时，图象看起来跟x轴相交了。

因此我们在使用《几何画板》要注意以下几点：

（一）不能为用而用

使用《几何画板》，只是辅助我们的数学教学在恰当的时候，恰当地使用，并不是每节课非用不可，要看所要讲授的内容有无使用的必要。一味地强调现代信息技术的作用，致使学生从头到尾见到的都是大屏幕上的图象，信息量巨大，印象却不深刻，不见得能产生好的教学效果。数学教学效果的最优化才是我们的最爱，买椟不能还珠。

（二）借助于技术，最终摆脱技术

无法实现真正具有教学意义的交互反馈是现代信息技术的应用与数学教学的明显缺陷。设想以计算机替代或者帮助教师执行全部或部分教学任务，真实地模拟教师的教学手段，关键是要实现学习者和计算机的交互。而这种交互活动只是一种预先设定好的在特定环境下显示相应内容的过程，计算机不可能根据实际情况对教学内容进行调整，更不可能有针对性地提出问题；对课堂上出现的“意外”情况，计算机显得无能为力。而这些“意外”，正是我们课堂教学的重点、难点、关键所在。因此我们使用技术来学习数学，是让技术服务于数学，并不是让我们始终依赖核技术，最终是为了摆脱技术。

（三）将数学的认知过程展示给学生，否则容易导致无限降低难度

事实上，许多教学中的难点正是训练学生思维的最佳契机。许多教师在学生难懂的地方，通过各种多媒体途径，作了过多、过细的铺垫，形象生动地进行分解，过多地降低了难度，使学生本来非常有价值的思维训练简化成一段无意义的图片欣赏，剥夺了学生的思维空间和时间，这样全面的知识展示替学生解决了所有的难题，最后，学生还是一无所知，使启发教育成了一句空话。不难想象，不动脑筋便轻易见到的知识，如何会印象深刻，如何会真正掌握，如何去促进思维。因此要把握好度。

总的说来，新课改下的数学教学离不开现代信息技术，但它终究是数学教学的一种工具，是否能对数学教学起到大的作用，还要看使用它的数学教师。《几何画板》的应用也是如此。