从教材走向中考，从中考走向竞赛

从教材走向中考，从中考走向竞赛

——关于距离最短问题的教学探究

高　峻

利用轴对称的性质，可以解决生活中许多“距离最短”问题，如大家熟悉的“将军牵马饮水”问题、法格勒格(Fagnano)问题、费马点问题等。初中几何教学中，利用轴对称的性质，教材涉及了距离之和最短的问题，北师大版七年级下第228页有这样一个问题解决:

如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短?

图1

为解决这个问题，我们先从如下的问题1入手:

问题1　如图，点A、点B在直线MN的两侧，点P是直线MN上的一个动点，点P在何处时，PA+PB最短?

图2

根据两点之间线段最短易知，当A、P、B三点在一条直线上时，PA+PB最短，因此，只要连接AB，与直线MN相交点即为P点的位置，此时PA+PB最短。

图3

问题2　如图，点A、点B在直线MN的同侧，点P是直线MN上的一个动点，点P在何处时，PA+PB最短?

利用问题1的解决方法，自然会很快想到将问题2转化为问题1来研究，因此，要使距离最短，必须转化成同一条直线的线段。具体做法是:作出点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B，与直线MN相交的点即为点P的位置。

图4

图5

利用轴对称的性质与两点之间线段最短，解决了教材中的问题后，让我们一起来看看近几年来，利用这一数学模型来考察的中考问题。

1．菱形中的距离和最短问题

问题3　(08湖北荆门)如图6－1，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是________。

图6－1

这个问题中，先要找到点P的位置，根据问题2，具体做法如下:

作出点M关于直线AC的对称点，根据菱形的对称性可以，对称点应为AD的中点Q，连接NQ，与交AC的交点即为P点的位置，如图6－2所示，此时NQ的长等于菱形的边长5，即为PN+PM的最小值。

图6－2

图7

图8

以下的这个问题也是与问题3类似的，请读者自行考虑。

(2008四川广安)如图7所示，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为________。 (答案:)

2．正方形中的距离和最短问题

问题4　(2009辽宁抚顺)如图8所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为(　　)

A．2 　　B．2 　　C．3 　　D

这个问题中也是要找到P点的位置，图中给出的P点并不是使PD+PE取得最小时的P点的位置，因此，关键是找出P点的位置。注意到正方形是轴对称图形，点D关于对角线AC的对称点为B，故BE与AC的交点即为点P使PD+PE最小的位置，且PD+PE最小时的长度等于BE的长，即正方形的边长。

以下的问题也是正方形中距离和最小的问题，与问题类似，读者可尝试解决。

图9

(2009四川达州15)如图9所示，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为________ cm(结果不取近似值)。(答案:+1)

从以上的举例中可以看出，距离和最短的应用都是在轴对称图形中，所以，从等腰直角三角形，等腰梯形，圆等相关的轴对称图形中，也可以设计距离和最短的问题。

中考中，距离和最短的问题是填空与选择题中中等偏上难度的试题，掌握了方法后，应该说是比较容易解决的。同时，在竞赛中，距离和最短的问题也是经常涉及的类型，主要是多次使用问题2的模型来解决这一类问题，直线的数量可由一条变成二条，甚至变成三条，点的个数可以是一个，二个，甚至三个。下面我们首先从两条平行线来看这一模型在竞赛中的应用。

问题5　如图10所示，在河的一侧有A、B两个村庄，现要在河上修一座桥，规定桥必须与河岸垂直，要使PA+PB的路程最短，问桥应修在何处?(河宽为定长为m)

图10

图11

此题虽然多了一条直线ST，但不影响P点的作法，作出P点后，再作PQ⊥ST即可(如图11所示)。

如果两条直线不平行，就形成角，这时，有二类竞赛试题，一类是一个点，另一类是二个点，我们先看一个点的问题:

问题6　如图12所示，在∠AOB的内部有一点P，要求在角的两边上分别找一点E、F，使得PE+PF+EF最短。(或使得△PEF的周长最小)。

我们可以先假设点F固定，则FP的值固定，问题转化成:在OB上找一点E，使得PE+EF最短，这就是问题2。找到E点后，再在OA上找一点F，使得PF+EF最短，这也转化成了问题2，从而得到这个问题的解决方法。具体做法:分别作出点P关于OB、OA的对称点，连接两对称点分别交OB和OA于点E、F，则PE+PF+EF最短(如图13所示)。

图12

图13

解决了二线一点的距离和最短的问题后，我们考虑二线二点的距离和最短的问题。

问题7　如图14所示在平面直角坐标系中，已知点E(3，1)、点F(1，2)，在X轴、Y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小?如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由。

图14

图15

我们可以先假设点M固定，则在Y轴上求一点N，使得FN+MN最短;确定N后，再在X轴上找一点M，使得EM+MN最短，这二步都是问题2的应用。具体做法:作点F关于Y轴的对称点F'，作点E关于X轴的对称点E'，连接E'F'，分别交X轴、Y轴于点M、N，则点M，N即为所求作的点(如图15所示)。

从以上解决的问题来看，要善于将未知问题转化成已知问题去求解;出现多个动点时，要先假定只有一个动点，再逐步增加动点，进行探究;同时，我们应注意到，要使几条线段的和最短，必须使它们能变换到同一条直线上，当它们满足共线的条件时，就能取得最短值。

根据以上的思路，我们可以来看如下的竞赛题:

问题8　如图16所示，△DEF内接于△ABC，试在锐角△ABC的所有内接三角形中，求出周长最短的三角形。

从刚才总结的思路来看，这个问题存在三个动点，即D、E、F，也就是要在AB、BC、CA三边上分别找到一个点D、E、F，使得三角形DEF的周长最小。

因些，我们先假定D点固定，此时问题转化为在∠ACB中有一点D，在边AC、BC上分别找一点F、E，使得DE+DF+EF最短，这就是问题7。以AC为对称轴作点D的对称点D'，以BC为对称轴作点D的对称点D″，连接D'D″，此时，以D为顶点的内接三角形的最小周长等于D'D″;(如图17所示)

图16

图17

接下来，我们应该确定D在AB边的何处时，△DEF的周长最小。

连接CD'与CD″，则CD'=CD=CD″，因此△CD'D″是顶角为∠C两倍的等腰三角形。(如图18所示)

图18

图19

要使得D'D″最短，只要使得CD'最短即可，因此，CD⊥AB时，即D为垂足，CD最短，故CD'与CD″都是最短。从这个角度可知，E、F也是△ABC的垂足，即△DEF为△ABC的垂足三角形时，周长最小。(如图19所示)

这是我在教学中所积累的关于一个数学模型在教材、中考、竞赛中的应用，在新课程实施了多年之后，从这一角度也可以看出新课程给我们教学带来的探究精神在竞赛中的拓展，利用这一种教学方法，经常将探究精神贯穿于教学中，我想，学生的能力肯定会有很大提高，同时，在竞赛中自然也能充分施展各自的才华，迸发出智慧的火花，探究出一片灿烂的天空。