黑洞的半径究竟多大

黑洞的半径究竟多大

许多资料上有涉及黑洞的试题，但答案不同，笔者谈谈自己的看法。

【例题】已知质量为m的质点和质量为M、半径为R的星体中心相距r(r≥R)时，引力势能?。有一些超高密度的星体，其巨大引力使得光子也无法逃逸出去，即它所发出的电磁波都无法向外传播，这类星体叫黑洞。若黑洞的质量等于太阳质量M，试估算该黑洞半径至多是多大?(本题为第五届全国中学生物理竞赛决赛试题)

【标准答案】光子从质量M、半径为R的黑洞逃逸时，克服黑洞引力做的功W是以光子的能量hν(=mv²)的减少为代价的。若W＞mc²，光子无论如何也无法从黑洞逃逸，而W等于光子从黑洞表面逃逸到无穷远处，光子和黑洞这个系统引力势能的增量?。故当满足下式时，光子不能从黑洞逃逸。

则黑洞的半径

带入数据得R＜1.5×10³m

《物理》第一册(实验修订本·必修)第110页阅读材料《黑洞》(以下简称《黑洞》)这样讲:理论计算表明，人造卫星脱离地球的速度等于其第一宇宙速度的?倍，即?。如果某天体的质量非常大、半径非常小，则其脱离速度有可能超过光速，即?。爱因斯坦相对论指出，任何物体的速度都不可能超过光速。由此推算，对这种天体来说，任何物体都不能脱离它的束缚，甚至连光也不能射出。这种天体就是我们常听到的黑洞。

依据《黑洞》知识可得黑洞的半径R满足:

以上两种解法均具有权威性，各种资料上有的采用第一种，有的采用第二种，究竟哪种解法是正确的，我们要从黑洞研究的历史谈起。

黑洞这一术语是1969年由美国科学家约翰·惠勒提出的。首先讨论黑洞的是约翰·米歇尔(1724—1793)，他在1783年写了一篇有关的论文，主要观点是:根据光的微粒说可以把光设想为像小型炮弹一样的微小粒子，这些光粒子应该像任何其他物质一样受到引力的影响，从某天体表面发出的光粒子在上升的过程中，速度由于万有引力作用而减慢，最终会落回到天体上。如果它的初速度大于某个临界值，它将永远不会停止上升并落回来，而是继续向外运动，这个临界速度称为逃逸速度。

设物体的质量为m、速度为v，天体质量为M、半径为R，物体由天体表面运动到无穷远处，对它需做的功W为

若物体的动能?，则物体刚好能逃逸出去。即逃逸速度?，若逃逸速度大于光速，则任何物质包括光粒子就无法逃逸出去。(本文叙述中脱离速度和逃逸速度均指物体脱离天体的临界速度，不加区分)

地球和太阳的逃逸速度与光速相比太小了，这表明引力对光的影响甚微，光可以毫无困难地从地球或太阳逃逸。可是，米歇尔推论也许可能有这样的一颗恒星，它的逃逸速度比光速还大，即

所以黑洞的半径

例如:某天体的密度和太阳一样，则其成为黑洞时的半径满足

即，太阳的半径为7×10⁸m。所以，米歇尔在其论文的结果中指出:在自然界确实存在不小于太阳密度、直径为太阳直径500倍的天体，那么由于它们的光无法抵达我们这里……我们将不能通过视觉获得它们的信息。

拉普拉斯也于1796年独立得出并发表了同样的结论。

根据在1897年进行的一项实验，光线总是以恒常速度运动。所以，在米歇尔的方法中将光类似炮弹那样处理是不合适的，从地面发射上天的炮弹由于引力而减速，最后停止上升并折回地面;然而一个光子必须以不变的速度继续向上，说明万有引力不能解释对光的影响。直到1915年爱因斯坦提出广义相对论之前，一直没有关于引力如何影响光的合适的理论。

根据广义相对论，空间和时间一起被认为形成称作时空的四维空间。这个空间不是平坦的，它被在它当中的物质和能量所畸变或者弯曲。向我们传来的光线在经过太阳附近时的弯折可以观测到，但这种弯折非常微小。然而，如果太阳收缩到只有几千米的尺度，这种弯折就会厉害到这种程度，即从太阳表面发出的光线不能逃逸出来，它被太阳的引力场拉拽回去。根据相对论，没有物体可以比光的速度更快，这样就存在一个任何物质都不能逃逸的区域，这个区域就叫作黑洞。

1916年史瓦西(1873—1916)根据广义相对论提出，在距致密天体或大质量天体的中心某一距离处，逃逸速度等于光速，在此距离以内的任何物质和辐射都不能逸出，后人将此距离称为史瓦西半径。史瓦西半径为?。史瓦西所研究的是一个不旋转的球对称的最简单的黑洞，叫作史瓦西黑洞。

1963年，新西兰人罗伊·克尔找到了广义相对论方程用于描述旋转黑洞的一组解，后来人们称这类的黑洞为克尔黑洞。克尔黑洞以恒定速度旋转，其大小与形状依赖于黑洞的质量和旋转的速度。

其大小

其中，J为角动量。如果旋转为零，即J=0，克尔黑洞就成了史瓦西黑洞，其形状为完美的球形，大小和史瓦西半径一样。

关于黑洞半径大小的研究，可以认为有三个代表性的结果，一是米歇尔根据牛顿的引力理论和光的微粒说得出的黑洞大小;二是史瓦西根据广义相对论得出的黑洞半径——史瓦西半径;三是克尔根据广义相对论对黑洞半径的计算。

很显然，黑洞半径的准确计算应运用广义相对论的知识，竞赛题的标准答案和《黑洞》中的解法都不准确。鉴于高中阶段不学习广义相对论，为使学生了解黑洞问题，以上两种解法都可以使用。由于《黑洞》中的解法是米歇尔的方法，且与史瓦希半径一致，所以笔者认为《黑洞》的解法更合适。