瓷砖铺砌游戏

十四、瓷砖铺砌游戏

一、“瓷砖铺砌”概述

所谓“瓷砖铺砌”游戏是指：用一种或几种大小、形状完全相同的瓷砖片，通过不断重复使用，使之铺满平面，既无空隙，又无重叠.

下图A、B、C三种拼砌图案，是由最简单的正三角形、正方形和正六边形的瓷砖拼成，它几乎充斥于人们生活的每一个角落.

(A)

(B)

(C)

古往今来，从世界各地精巧美丽的镶嵌工艺品，到王宫寺院壮丽辉煌的造砌艺术，无不为铺砌的图案提供了实用的范例.铺砌艺术可以说与人类的历史一样悠久.

许多铺砌图案，常常壮丽得令人惊叹不已.欣赏这些绝妙的图形，有时可以令人心旷神怡.

然而令人惊奇的是，就这么一个简单问题，一般性的答案，人类迄今依然未知.

[镶嵌的基本单元]

瓷砖铺砌问题，属于平面规则分割范畴，又称“镶嵌”.作为镶嵌图形的基本单元，多为多边形或其组合.例如：

1.以三角形为镶嵌单元：

不一定要正三角形，以任意的三角形作为镶嵌单元，都可以铺满平面，而且方法还不止一种.这是因为，三角形的三个内角和为180°，可以把两组和为360°的六个角的角顶，集中在一起展铺，使得恰好覆盖角顶周围的平面.下图是以相同的三角形为基本图案，构造出的两种不同的平面铺砌方式.

2.以四边形为镶嵌单元：

以任意的平面四边形为镶嵌单元，也都可以展铺成平面.这是因为，任一平面四边形的四个内角和为360°，可以把这四个角的角顶，集中在一起展铺.

下图是两个例子，一个是凸四边形铺砌，一个是凹四边形铺砌.

3.以五边形为镶嵌单元：

以单一的五边形为镶嵌单元的平面铺砌，是一个令人困惑的问题.

众所周知，正五边形无法铺满平面(见问题14－01).但人们却发现了许多特殊类别的凸五边形能够展铺成平面.例如，有一组对边平行的凸五边形，一定能铺砌整个平面.

下页上图是一个著名的例子，称为“开罗镶嵌”.这一名称是因为它经常出现在开罗街头的伊斯兰装饰中.它是由两套全等的、拉长了的六边形，如图一竖一横重叠后形成的.

凸五边形镶嵌问题，有着一段曲折动人的历史，我们将在后面的章节，专题予以叙述.

4.以六边形为镶嵌单元：

人们已经搞清楚：有且只有三类六边形可以铺镶成平面.这三类六边形早在1918年，已由法兰克福大学的一位研究生K.莱因哈脱发现，并描述如下：(图中x，y为角；a，b，c为边)

例如，有一组对边平行且相等的六边形，一定可以如下左图展铺成平面；又如，六边相等，且一组对角等于(2π/k)的对称六边形，可以镶嵌出下右图的“花瓣形”图案(k＝7).

5.以其他多边形为镶嵌单元：

单一的凸七边形，或边数更多的凸多边形，无法形成平面镶嵌.这一似乎显而易见的事实，直到1978年底，才由美国数学家伊万·尼文，给出完美而透彻的证明.

但一些非凸的多边形，有时却能铺镶成平面，而且也令人赏心悦目.下面便是一些例子.

[康韦准则]

能不能用形如下左图的瓷砖，作为镶嵌的基本单元，来铺砌平面？英国数学家J.H.康韦断言，这是可能的.

康韦给出了以下准则：

如果一个原始单元，其边界可以分为六个部分(见上右图，图中各部分以黑圈分隔)，这六部分之间有如下关系：

1.a与d是互相平移的结果；

2.其余部分b，c，e，f都有对称中心(图中用空圈表示).

则这样的单元，可以作为镶嵌的基本单元，用来铺砌平面.

康韦的上述准则可应用于任何铺砌，而不仅仅限于此处所提到的多边形单元.

[均匀镶嵌与周期镶嵌]

如果一个镶嵌图的每一个顶点，都由相同结构组成，那么称这种镶嵌为均匀镶嵌.

如果一个镶嵌图经过平移，能与原镶嵌图重合，那么称这种镶嵌为周期镶嵌.

本节图(A)、(B)、(C)，及以三角形和四边形为镶嵌单元的两款例图，既是均匀镶嵌，又是周期镶嵌.而“开罗镶嵌”虽是周期镶嵌，但却不是均匀镶嵌.而以六边形为镶嵌单元的“花瓣形”镶嵌的图案(见该款例图)，则既不是均匀镶嵌，也不是周期镶嵌.

二、正多边形的瓷砖铺砌问题

不是随便的正多边形都能铺满平面.

如果只限于单一的正多边形的话，那么不难知道，只有正三角形、正方形和正六边形三种图形可以铺满平面.

如果可以由不同种类的正多边形组合，那么就必须使它们的内角在镶嵌图的每个顶点处恰好拼成一个周角.

因为正n边形的一个内角为

所以上述要求无疑相当于求一组正整数n，p、q、r、…、t，使得

这个不定方程共有17组整数解，其中能够铺满平面的只有10组，它们是：

(1)n＝3，p＝3，q＝3，r＝3，s＝3，t＝3；([3⁶]，图A)

(2)n＝3，p＝3，q＝3，r＝4，s＝4；(它共有两种图形：[3³·4²]，图D；[3²·4·3·4]，图E)

(D)

(E)

(3)n＝3，p＝3，q＝3，r＝3，s＝6；([3⁴·6]，图F)

(4)n＝3，p＝3，q＝6，r＝6；(有两种图案：[3²·6²]，图G；图H)

(5)n＝3，p＝4，q＝4，r＝6；(也有两种图案：图I；[3·4·6·4]，图J)

(6)n＝3，p＝12，q＝12；([3·12²]，图K)

(F)

(G)

(H)

(I)

(7)n＝4，p＝4，q＝4，r＝4；([4⁴]，图B)

(8)n＝4，p＝8，q＝8；([4·8²]，图L)

(J)

(K)

(L)

(M)

(9)n＝4，p＝6，q＝12；([4·6·12]，图M)

(10)n＝6，p＝6，q＝6.([6³]，图C)

以上能够铺满平面的10组解中，有13种镶嵌图案，其中11种为均匀镶嵌.另两种(图H、图I)为周期镶嵌，但非均匀镶嵌.

除以上10组解外，前述不定方程还有7组整数解，但它们只能使某些顶点满足关系式，而无法形成整个平面的镶嵌.现列如下：多边形镶嵌平面的理论，在建筑结构、经济裁料、废物利用等方面有很大的实用性.例如某木器厂有一批大小一样的四边形余料，我们可以如上一节第4款的例图那样，把它们拼接成一方完整的地面.

需要指出的是：许多非均匀的镶嵌，其图案也与均匀镶嵌同样的壮丽和美观.下面是又两个例子.

三、凸五边形的瓷砖铺砌问题

单一的凸五边形镶嵌平面问题，延续了将近一个世纪，至今似乎仍未画上句号.

1918年前后，K.莱因哈脱找到了以下5类可以用来完整铺砌平面的凸五边形.此后便整整沉寂了半个世纪.直至1968年，R.B.克希纳又发表了另外3种不同的铺砌类型(如下图)，并认为这是该问题所能存在答案的尽头.

1975年，著名的美国数学游戏专家马丁·加德纳觉得此事似乎尚未完结，便把它搬上了《科学美国人》的《数学游戏》专栏.从而引起了人们广泛的兴趣，并引发了对该问题新一轮的研究.

很快地，一位业余爱好者R.E.詹姆士，找到了一种可以作为基本单元，新的美丽的五边形族.

詹姆士是怎样发现这种可铺满平面的新五边形呢？

原来，詹姆士是从常见的正八边形与正方形铺砌出发(见下左图)，先进行平移，然后观察是否可由五边形取代正方形的位置，接着进一步把八边形分割为五边形.五边形中边角之间所满足的关系，如下右图上所示，右下是符合条件的一个实例.

詹姆士的成功，激发了玛乔莉·赖斯的巨大热情，这位从未受过正规数学教育的家庭妇女，利用一种自创的方法，在不到一年的时间内，竟陆续发现了4种崭新的、可以铺满平面的五边形族.

至此，可以铺满平面的五边形族的清单，已经列到了13类.此后，许多人花费了大量的时间和精力继续探索，但终无所获.

不料，过了十年，1985年，R.史泰因竟然又找到了一种前所未有的新的五边形种类(见下图及问题14－03).这不禁令人怀疑，上述清单是否远非画上句号的时候.

四、彭罗斯瓷砖

一般的瓷砖在作平面铺镶时会产生周期的图形：即一种基本图案在人们眼睛往垂直、水平或某直线方向移动时，会出现规则的重复.

是否存在这样的一组砌块，它可以产生无穷多种的方法，非周期性的铺满整个平面？

经数学家们的努力，果然找到了这样的砌块组，只是一套竟多达20000多块.后来经改进，减少到100多块.砌块组的数量是否可以减到更少呢？

1974年，英国物理学家R.彭罗斯，惊奇地发现了一套瓷砖，它在作平面铺镶时，能产生无穷多种非周期的图形.

彭罗斯拼砖只有两块，构造及形状如下图.

这两块拼砖依形状分别命名为“飞标”和“风筝”，合在一起形成一个边长与对角线比为黄金分割比ψ的菱形.

在瓷砖作平面铺镶时，“飞标”和“风筝”必须在顶点的地方接合，围成一圈，形成彭罗斯(瓷砖铺镶的)基本图案.

在彭罗斯瓷砖的铺砌中，最常见的基本图案有7种，如下：

它们分别称为：“国王”、“王后”、“王宫仆人”、“纸牌1点”、“纸牌2点”、“星星”和“太阳”.这些基本图案，很容易在随便一块彭罗斯瓷砖的拼板中找到(见下图).

为了正确作出一块彭罗斯拼板，有以下“H－T”方法：如下图先在各拼砖的顶点，标上H和T的字样，接着就这样拼装：使任何具有同样字母的两个顶点，在铺砌时都不相邻.

有些彭罗斯拼板具有72°旋转对称性，但大多数没有.在一块彭罗斯拼板中，所用“飞标”的数量与“风筝”的数量比，大体为ψ：1.在每一个彭罗斯瓷砖的无限铺砌中，上述比值精确为ψ.

五、矩形面无裂缝瓷砖铺砌

为了使问题尽可能简单化，我们先假定瓷砖的规格为2×1，准备用它来铺砌p×q矩形房间的地板.

试看以下两图(图中p＝6，q＝5)：

仔细观察可以发现：上左图有一条完全穿过矩形的直线，而上右图却没有.我们把完全穿过矩形的直线称为“裂缝”，而把没有“裂缝”的铺砌方法称为“无缝砌法”.同样是6×5矩形，上右图是一种“无缝砌法”，而上左图则不是.

那么，什么样的p×q矩形存在(用2×1瓷砖)“无缝砌法”呢？

首先，矩形的面积pq必须是偶数.因为如果pq为奇数，连铺砌的方法都不存在，更谈不上“无缝砌法”了.

其次，即使pq是偶数，也远不是都能无缝铺砌.

事实上，不妨假定p≥q，则

(1)当q＝2时，无论下面铺砌中的那一种，都必然出现至少一条裂缝；

(2)当q＝3时，从下图可以发现，无论怎样铺砌，也都将出现一条裂缝；

(3)当q＝4时，也可以类似证明，不存在无缝砌法，只不过多考虑几种情况罢了！

综上，要实现无缝铺砌，p，q还必须大于等于5.

还有一种很特殊的情形：即6×6正方形，也不存在无缝砌法.这一令人惊奇的例外，后来由R.I.杰威特作了以下漂亮的证明：

假定我们已经找到了6×6正方形的某种无缝砌法.那么，显然在这样6×6正方形中，水平和垂直各5条砌缝线，均被砖块打断.

下面我们说明：每条砌缝线至少被两块瓷砖打断.

事实上，如果某条砌缝线只被一块砖打断的话，那么它的两边(或左右，或上下)可供铺砌的方格都是奇数(见下图)，不可能由2×1的瓷砖铺满它.这表明：每条砌缝线至少被两块瓷砖打断.

另一方面，每块瓷砖显然最多只能打断一条砌缝线.这意味着，所有打断砌缝线的砖块都是不相同的.

这样，水平和垂直共10条砌缝线，就需要至少20块不同的砖打断它.然而，铺满6×6正方形所用的瓷砖总共只有18块.这一矛盾表明：6×6正方形的无缝砌法不存在！

综合上述结果，得知p×q矩形能用2×1瓷砖无缝铺砌的必要条件是：

(1)pq是偶数；

(2)p≥5，q≥5；

(3)(p，q)≠(6，6).

令人惊奇的是，上述条件同时也是充分条件.也就是说，只要p，q满足上面条件，就一定可以找到一种p×q矩形，用2×1瓷砖无缝铺砌的方法.

我们不准备证明上述条件的充分性，但指出证明它所用的一些方法.诸如下图那样，通过不断添加中间阴影部分复制件，来扩大铺砌的矩形区域；又如，在下一节问题14－05中，所介绍另一种，应用颇为广泛的，逐步“加层法”，等等.

对于一般a×b瓷砖铺砌p×q矩形的无缝铺砌，有以下类似的充要条件(下面引述但不加证明).

若(a，b)＝1且pq＞ab，则当且仅当：

(1)a，b|p或a，b|q；

(2)p，q都至少能用两种方法表示为ma＋nb，m，n＞0；

(3)当(a，b)＝(1，2)时，(p，q)≠(6，6).

有兴趣的读者可以自行钻研.

六、“横行霸道”——一个瓷砖铺放的游戏

有一种以瓷砖为道具的铺放游戏，称为“横行霸道”.

游戏的规则很简单：甲乙两人轮流在p×q矩形方格盘上铺放2×1瓷砖，但甲只允许横放，乙只允许竖放.一块瓷砖占两个方格，但不允许重叠.如果某人已无处可放自己的瓷砖，那么由另一人继续铺放，直至双方都无处可以铺放为止.

游戏的胜负评判如下：铺放的瓷砖多者为胜.如果两人铺放的瓷砖数量相等，那么后手胜.

下面是一个例子：

如图，甲乙两人在6×4矩形方格盘玩“横行霸道”游戏，甲先放.试分析甲乙双方的对策.

这一游戏甲方有必胜的策略.下图的数字，标示双方铺放的顺序：

甲方共铺放了6块横向瓷砖，而乙方只铺放了5块竖向瓷砖，从而甲胜.这一胜局，实际上在甲铺上第7块时就已明朗(见上左图).

从例中可以发现，游戏取胜的诀窍在于：每摆放一块瓷砖，必须尽可能使自己实际上占据4个方格的地盘，并破坏对方的同样企图.从这一角度看，甲方的第“1”、“3”、“7”各步，至关重要，稍有差池，即落败局！

七、有关瓷砖铺砌的问题和练习

问题14—01：

[难度等级：★☆☆☆☆]

试说明：用单一的正五边形，无法铺满平面.

答案在314页.

问题14—02：

[难度等级：★★☆☆☆]

我们知道，不定方程：

共有17组整数解，其中能够铺满平面的只有10组.

试问：为什么文中后7组解，不能够铺满平面呢？请以(5，5，10)为例说明.

答案在314页.

问题14—03：

[难度等级：★★☆☆☆]

1985年，R.史泰因找到了第14种，能够单一铺满平面的新的五边形种类.

试根据下左用新五边形镶嵌的平面图，指出这类五边形的边、角之间的关系特征.

答案在314页.

问题14—04：

[难度等级：★★☆☆☆]

为了保证彭罗斯拼块拼装方法的可靠，除文中介绍的“H－T”方法外，你还能想出其他的办法吗？

答案在314—315页.

问题14—05：

[难度等级：★★☆☆☆]

以下的“加层法”，可以从一个较小的(p×q)无缝砌法开始，构造出一个较大的(p＋4)×(q＋4)无缝砌法：

试用“加层法”构造出一个10×9的无缝砌法.

答案在315页.

问题14—06：

[难度等级：★★☆☆☆]

试分析：在6×6“横行霸道”游戏中，先手甲方是否有必胜的策略？

答案在315页.

[答案与提示]

14—01

解　正五边形的每个内角为108°，它不可能无重叠地覆盖一个点周围的平面(见下左图)，更不用说铺满整个平面.

14—02

解　观察一个正五边形ABCDE的五个顶点(见上右图)，(5，5，10)可以满足其中四点(图中的点A、C、D、E)铺满该点周围的平面的要求，但一定不能同时铺满另一点(图中的B)周围的平面.

14—03

解　第14类可镶嵌平面的新五边形的边、角之间的关系特征如下所列：

14—04

解　彭罗斯拼板的可靠拼装法很多，较有意义的有：

(1)凹凸法：在“飞标”和“风筝”边的中点，如下页图设置凹进和凸起，然后按凹凸相配拼装，即可得出正确的彭罗斯拼板.

(2)曲线法：如下图那样，在“飞标”和“风筝”的面上，画上曲线，如果拼块拼装得正确，那么各拼块上的曲线，会互相联结.

14—05

解　利用下左图的6×5无缝砌法，加层构造如下右图的10×9的无缝砌法.

14—06

解　在6×6“横行霸道”游戏中，甲方要确保取胜，就必须能摆放9块以上的横砖，或摆放9块横砖并破坏乙方至少一个竖块的位置.

由于双方开头几次都有很大的自由摆放空间，即使每放入的一块瓷砖，都占据有四个方格，那么双方择机各放下4块瓷砖是不成问题的(如下左图).

接下去，甲方只要凭借先手之机，如上右图放下第5横块，并破坏乙方的一个竖块位置，就能取得胜利.