分式的运算

【本节解读】

运用一般化的思想，将分数的运算类比迁移到分式的运算，并运用转化的思想求出可以化为一元一次方程的分式方程的根，通过整数指数幂的学习完善同底数幂的运算性质和科学记数法，学习用科学记数法来表示绝对值小于1的数．

【基础知识详解与要点点拨】

分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．用式子表示为：．

分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示为：．

分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示为：．

【规律方法】

计算：

（1）；

（2）．

分析：几个单项式相乘（相除），利用乘、除法的法则计算，约分，化为最简式子；分式中分子、分母是多项式，应分别先分解因式，再用乘、除法的法则计算，最后约分，化为最简式子．

解：（1）．

（2）

【易错提醒】

在进行分式乘、除法运算的过程中容易出现下列错误：

1．约分错误，即在约分的过程中，错误地应用分式基本性质造成的错误．

如：，实际上，．

2．在分式的乘除混合运算中，运算顺序出现错误．

如就是典型的运算顺序错误，同级运算应该从左到右按顺序进行．此题正确解法应为：．

除上述两种情况外，还应该注意运算结果要化为最简分式．

【典型例题精讲与方法剖析】

例1　计算：

（1）；

（2）．

分析：可根据分式的乘除法则直接计算，可先考虑处理符号．

解：（1）．

（2）．

例2　计算：

（1）；

（2）．

分析：两式须先将分子、分母分解因式再计算．

解：（1）．

（2）．

说明：分式的除法运算，需转化为乘法运算；根据乘法法则，应先把分子、分母分别相乘，化成一个分式后再进行约分，但在实际演算时，这样做显得较繁琐，因此，可根据情况先约分，再相乘，这样做有时简单易行，又不易出错．

例3　计算：

（1）；

（2）；

（3）．

分析：根据分式的乘方运算法则给这个分式的分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算；做乘方运算时，可先统一处理符号．

解：（1）；

（2）；

（3）

说明：对分式进行乘方运算时，可先对分子、分母约分再乘方，也可先对分子、分母分解因式再乘方．

例4　计算：

（1）；

（2）．

分析：第（1）小题是分式乘方与乘除混合运算，应先乘方再乘除；第（2）小题分式中分子、分母是多项式，应分别先分解因式，再运用乘、除法的法则计算，最后约分，化为最简式子；乘、除法属于同一级运算，应按从左到右的运算顺序进行计算．

解：（1）；

（2）．

例5　当m＝0.75，n＝0.25时，求的值．

分析：求分式的值要看分式的形式，较复杂时不宜直接代入，应先化简．

解：

说明：先化简再求值，是求分式的值的常用方法．

【基础知识详解与要点点拨】

分式加减法的法则是：

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：．

通分：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式叫通分．通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母．最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幂的积．

异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．

用式子表示是：．

【规律方法】

在异分母分式加减法的计算过程中，要注意下面几个问题：

（1）异分母分式的加减，关键是确定最简公分母．

（2）多项式分母要因式分解．

（3）整式看成分母是1的分式．

（4）一些较复杂的题目可以采用逐步通分法．

（5）在分式的计算过程中注意利用乘法公式和因式分解法巧解分式计算．

【易错提醒】

计算：

（1）；

（2）．

分析：第（1）小题中，∵y²－x²＝-（x²－y²），∴本题可化为同分母的分式；第（2）小题异分母分式的加减法运算，要通过通分化为同分母的分式运算，一个整式与分式相加减时，应把这个整式看作分母为1的一个式子．

（2）原式＝．

【典型例题精讲与方法剖析】

例1　计算：．

分析：此题属于同分母分式的加减混合运算，根据法则，分母不变，分子相加减．

解：．

说明：分子相加减时，需把分子看成一个整体用括号括起来，再相加减．

例2　求下列各组式子的最简公分母：

（1）．

（2）．

分析：（1）分母中的各项系数分别为4、3、5，它们的最小公倍数是60，各字母因式a、b、c的最高次幂分别是a²、b²、c²，由此可得它们的最简公分母是60a²b²c²；

（2）先把各分母因式分解，然后按求最简公分母的一般步骤求．

解：（1）最简公分母为60a²b²c²；

（2）因为；

；

，

所以，最简公分母是3（a－1）（a－3）（a－4）（a＋1）．

说明：当分母是多项式时，一般要先因式分解，再确定最简公分母，由于分子、分母中的符号可提到分式前面，所以最简公分母一般不取负号．

例3　通分：

（1）；

（2）．

分析：第（1）小题因为分母系数的最小公倍数是18，字母因式x，y的最高次幂是x³，y³，所以最简公分母是18x³y³．第（2）小题，因为-a＋b＝-（a－b），a²－b²＝（a＋b）（a－b），所以最简公分母是（a－b）（a＋b）²．

解：（1）∵最简公分母是18³y³，∴，

（2）∵最简公分母是（a－b）（a＋b）²，∴，

说明：通分时，在改变分母使之变为最简公分母的同时，必须给分子实施同样的运算，这样才能保证通分是恒等变形．

例4　计算：

（1）；

（2）．

分析：（1）最简公分母为xy，先通分，化为同分母的分式，再相加减；

（2）把整式x看作分母为1的分式，然后按分式的运算顺序进行．

解：（1）．

（2）

说明：（1）对于分式与整式的相加减问题，有时可把整式看作分母为1的一项；

（2）运算结果应化为最简分式或整式．

例5　已知：3a－2b＝0，求下式的值：

分析：先化简，然后将已知条件变形代入求值．

解：

当3a－2b＝0时，b＝a，∴原式．

说明：分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．

【基础知识详解与要点点拨】

分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

一元方程的解也叫做方程的根．

增根：使分式方程中分母为零的根．

【规律方法】

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘以最简公分母．

一般地，解分式方程时，去分母所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解（即原方程的增根）．

解分式方程的一般步骤是：（1）去分母，把分式方程化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根；（4）结论．

【易错提醒】

分式方程化为整式方程的过程必须两边乘以一个适当的整式，由于这个整式可能为零，使本不相等的两边也相等了，这时就产生了增根，所以解分式方程必须检验，不能忽略．

【典型例题精讲与方法剖析】

例1　解方程．

分析：解分式方程的关键是去分母，把不熟悉的分式方程转化为熟悉的一元一次方程来解决．

解：方程两边同时乘以2（3x＋1），得2（2x－1）＝3x＋1，

去括号，得4x－2＝3x＋1，

移项，化简得x＝3，

检验，将x＝3代入原方程，得左边右边．

所以x＝3是原方程的解．

例2　解方程．

解：方程两边同时乘以x－1，得x＋x－1＝1，

移项，化简得x＝1，

检验，将x＝1代入原方程，结果使方程中分式的分母为零，分式无意义．

所以x＝1不是原方程的解，原方程无解（x＝1就是分式方程的增根）．

说明：在这里，x＝1不是原方程的根，因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根．产生增根的原因是：我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为0的整式．因为解分式方程可能产生增根，所以解分式方程必须检验．

例3　解方程．

分析：先将各分母分解因式，找出最简公分母，再去分母，转化为整式方程求解，要注意检验．

解：去分母，方程两边同乘以最简公分母（x＋1）（x－1），得（x－1）＋2（x＋1）＝4．

解这个整式方程得，x＝1．

检验：把x＝1代入最简公分母（x＋1）（x－1），结果使（x＋1）（x－1）＝0，所以x＝1不是原方程的解，原方程无解（x＝1就是分式方程的增根）．

说明：检验时将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解（即原方程的增根）．

例4　已知A、B两地相距40km，甲骑自行车从A地出发1小时后，乙也从A地出发，用相当于甲的1.5倍的速度追赶，当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙两人的速度．

分析：此题是行程问题，路程、速度、时间是行程问题的三要素．

路程：甲，40km；乙，40km　　速度：乙的速度＝甲的速度的1.5倍

时间：乙走的时间＝甲走的时间

解：设甲的速度为xkm/h，则乙的速度为1.5xkm/h．

根据题意，得，解这个方程得，x＝20．

经检验知，x＝20是原方程的根，当x＝20时，1.5x＝1.5×20＝30．

答：甲的速度为20km/h，乙的速度30km/h．

说明：列分式方程解应用题时，要注意从两种意义上验根，即不但要检验所求的未知数的值是否适合原方程，还要检验此解是否符合实际意义．

【基础知识详解与要点点拨】

任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a⁰＝1（a≠0）．

当n为正整数时，．

科学记数法：把一个数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a＜10，n是整数）的记数方法就叫做科学记数法．

【规律方法】

正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．

a^maⁿ＝a^m＋n（m、n为整数，a≠0）；

（ab）^m＝a^mb^m（m为整数，a≠0，b≠0）；

（a^m）ⁿ＝a^mn（m、n为整数，a≠0）．

用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n－1．

用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）的相反数．

【典型例题精讲与方法剖析】

例1　计算：

（1）3⁶÷3⁸；

（2）6¹⁰÷6¹⁰；

（3）（-a）³÷a⁷．

解：（1）3⁶÷3⁸＝3^6－8＝3^-2＝＝；

（2）6¹⁰÷6¹⁰＝6^10－10＝6⁰＝1；

（3）（-a）³÷a⁷＝-a³÷a⁷＝-a^3－7＝-a^-4＝-．

例2　计算：（1）（3x²y^-2）^-3；

（2）（2m²n^-2）²·3m^-3n³．

分析：可先运用幂的运算性质进行计算，再化成正整数指数幂的形式．

解：（1）（3x²y^-2）^-3＝3^-3（x²）^-3（y^-2）^-3＝x^-6y⁶＝；

（2）（2m²n^-2）²·3m^-3n³＝4m⁴n^-4·3m^-3n³＝12mn^-1＝．

例3　把下列各数用科学记数法表示：

（1）102400；

（2）0.000456；

（3）-0.00001032．

解：（1）102400＝1.024×10⁵；

（2）0.000456＝4.56×10^-4；

（3）-0.00001032＝-1.032×10^-5．

说明：有了负整数指数幂，科学记数法不仅可以表示绝对值较大的数，也可以表示绝对值较小的数．

例4　一根约为1米长、直径为80毫米的光纤预制棒，可拉成至少400公里长的光纤．试问：1平方厘米是这种光纤的横截面积的多少倍？（保留两位有效数字）

分析：可先求光纤的横截面积，再列式计算．

解：光纤的横截面积为：，（平方米），

∴10^-4÷（4π×10^-9）≈8.0×10³．

答：1平方厘米是这种光纤的横截面积的8.0×10³倍．