四面体体积的求法探索

情况简介

本课获2006年上海市中青年教师教学大奖赛二等奖。

那年10月参加上海市中青年教师教学大奖赛。恰逢立体几何章节结束，所以准备了这样一节关于四面体体积的求法探索课。四面体是一个基本几何体。在四面体的体积求法中涉及到很多求体积的思想方法，如常规的直接法、切割法、补形法、变换顶点、转换视角等。通过本课的学习，希望能促进学生思维的灵活性。

文化教育价值

1.方法的简洁：

问题研究中的思想方法都是精致、简洁的方法，如切割法、补形法、变换顶点等方法都是简洁、优美的。

2.思想的力量：

一题多解，不同的数学思想方法的运用，使得问题的解决变得如此丰富多彩。

3.情感体验：

小组合伙交流，促进表达，在跃跃欲试中体验解决问题的快乐。

教学设计

教学目标：

通过对四面体体积求解方法的探求，掌握求四面体体积的各种方法并能在具体问题中合理地选用；

通过对四面体体积问题的探求，经历分析问题、合理思维的过程；

通过小组合作与交流评价，增强合作交流的能力及辨析正误的能力。

教学重点与难点：

探求四面体体积的各种求法并灵活、熟练地运用；

四面体体积的求法探求过程中的思想方法。

教学技术与学习资源利用：

1.技术资源——多媒体课件。

2.学习资源——学生初步学习过棱柱、棱锥等多面体体积的求法，有一定的知识与方法基础。平时教学中多次上过类似的探究课型，学生对独立探究与合作学习、交流评价的学习方式较为适应。

教学过程：

1.交流课前准备题

如图1，在四面体P-ABC中，PA＝AB＝AC＝1，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求该四面体的体积。

图1

图2

参考方法一：

采用常规的直接法，利用正三棱锥的性质，直接求高，见图2。

设P在底面ABC内的射影为点O，连接AO并延长交BC于点E，则点E为BC中点。易求

参考方法二：

采用分割法，具体见图３。取BC中点E，取AP中点F，连接AE、PE、EF。

易证BC⊥平面APE。

图3

图4

图5

参考方法三：

采用补体法，见图4，将它补成一个棱长为的正方体。

可以知道V正方体＝，V四个小三棱锥＝

于是有V＝V正方体－V四个小三棱锥＝

2.课堂探究活动

请学生用多种方法求解：

如图5，四面体P-ABC中，PA＝1，AB＝AC＝2，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求该四面体的体积。

设计探究过程如下：

（1）请学生独立探究，思考自己可以用何种方法求解；

（2）组织学生分小组讨论，初步交流组内同学的解法；

（3）课堂交流，各小组交流展示自己的解法；

（4）学生对各种解法进行评判；

（5）师生共同总结归纳各种方法，并揭示其思维过程中的本质特征。

图6

图7

参考方法一：

常规法，直接求高，见图6。

设点P在平面ABC内的射影为O，这里求PO有两种方法。

方法1：过O作OF垂直于AB，连接PF，在△APF和△OPF中可以求得

方法2：延长AO，交BC于点E，则E为BC中点，连接PE，在△APE中，利用面积，可求得

于是

（注：这里以P、A、B或C为顶点的高求法不同，可以自行体会。）

参考方法二：

采用分割法，见图7。取BC边中点E，连接AE、PE。易知AE⊥BC，PE⊥BC。

于是，V＝VC-APE＋VB-APE＝

参考方法三：

采用分割法，见图8。取AB、AC的中点M、N，连接PM、PN、MN。可以发现三棱锥A-PMN是一个正四面体，于是V＝4·VA-PMN＝

图8

图9

参考方法四：

采用补体法，补成一个正四面体D-ABC，见图9。

于是

3.练习与巩固环节

练习：

如图10，四面体P-ABC中，PA＝1，AB＝2，AC＝3，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求该四面体的体积。

答案：

图10

4.作业布置

（1）四面体P-ABC中，各棱长为1或者2，求该四面体的体积。（要求：用两种以上的方法求体积。）

（2）四面体各面均为边长等于a、b、c的三角形，求该四面体的体积。

（3）求棱长为a的正八面体的体积。（要求：用两种以上的方法求体积。）

教学设计说明

1.选题说明

高二学生的立体几何部分知识正好学到棱锥的体积部分，在“棱锥的体积求法”中，蕴含着丰富的数学思想与方法，如常规法、切割法、补形法、变换顶点、转换视角等多种方法。千变万化的求解方法，凸显了数学的无穷魅力，能激起学生探求的热情。故选择了这节求棱锥体积的复习课——四面体体积的求法探索。

2.选例说明

本节课选择了三道题目作为讲解重点，并配以三道课后作业题。按题目的给出顺序来看，题中的条件渐弱，致使难度逐步加强，题与题之间有明显的坡度，层层递进。

热身题，实质就是求一个正四面体的体积，作为本节课的开始，让学生做一下热身运动。

探究题和课堂练习题都是非正四面体，探究题是条件与结论不开放，但解法开放。要求学生先独立思考再合作交流，以体会别人的方法，对自己与他人的方法进行评价。

课后作业题中的第一题，除了解法开放，题中条件与结论也开放，其四面体模型还必须要通过学生自己搭建，对学生的空间想象能力有一定的要求，同时通过对不同情况的四面体的探究，体会分类的数学思想方法。

3.课型说明

本着“以学生发展为本”的指导思想，为增加课堂上学生探究的体验，本节课设计主要有两个特色环节——小组讨论、解法交流与评析。

本节课不是通常意义下的习题课，而是一节解题方法的探究课。其教学策略是充分发挥学生的学习主动性，解题的方法由学生思考，学生讨论，学生展示交流，学生评析，教师起的是组织者、参与者及引导者的作用。本课通过设置小组讨论和解法交流评析，从而充分展示学生的思维过程。

（1）小组讨论——在学生独立思考的基础上进行，基于求体积的方法很多，如果一味地采用教师讲解的形式授课也许会熄灭学生自身可能会产生的思维的亮点与火花。所以，为了调动学生的积极性，课堂中对探究题的处理方式就是采用先独立思考——想解法，再小组讨论——定解法的形式进行，以期有更多的学生能在有限课堂时间里迸出思维火花，展示自己的能力。

（2）解法交流与评析——在独立思考与小组讨论的过程中，教师通过巡视，必然会发现学生中的精妙方法或是错误思维。因而组织学生把自己小组的方法讲给全班同学听，让大家来进行评判，既可以满足学生的成就感，也可以对大家有所启迪。另外，某些错误的方法往往是典型的，是学生学习数学思维障碍产生的根源，只有留心这些错误思维，正视错误，并积极地进行分析解决，才能从根本上克服思维障碍。所以，我在课堂上留一定的时间处理学生的错误解法，请同学们来进行评析而不是由教师的思维来取而代之，其好处之一是，请同学指出他人错误，对他来说是具有更高要求的一种学习能力；好处之二是，对被指正错误的学生来说，通过同伴的指正，既可以获得身边榜样的学习，也对以后避免同类错误的产生有更高的警觉性。（因当时正承担2005年市级规划课题《高中学生数学思维障碍的分析、诊断与克服》，故课堂教学中比较重视关注学生思维障碍。）

本节课不预设学生能得到哪几种解题方法，完全视学生探究结果而定。主要目标是期望学生通过本节课，能经历数学问题的探究过程，培养合作交流的能力，同时对多面体体积的求法达到一个知识巩固、方法求新的目的。

课例点评

徐泼老师“四面体体积的求法探索”一课的新意主要体现在将一节普通的数学习题课设计成对不同难度的数学问题的探索，学生通过对一串数学问题（不同四面体的体积）的解决，体会、理解数学问题之间的联系与区别，感悟不同的解决方法所体现的数学思想。

本节课的问题串，尽管都是求四面体的体积，但不同于三个相互独立的问题，而是一类问题的三个层次。其中最特殊的是正四面体，其次是有两条侧棱相等，再是三条侧棱均不相等。问题的设计既体现了由特殊到一般的数学思想，又能让学生感悟不同条件下空间图形的区别与联系，理解一条侧棱长度的变化对四面体图形的几何性质的影响，进而能体会解决方法之间的关联。对于学习思考能力较强的学生，甚至能感悟本节课的逆向，即是解决复杂问题（如第三层次的问题）的一种有效手段。

这节课的另一个特点是数学问题解决方法的多样性与开放性，教师对课题的设计更多体现的是引导性，而问题的解决过程则更好地反映了学生的主体性。问题串的设计，既让不同层次的学生都有所收获，又能让所有学生充满对新问题的挑战欲望，能充分发挥学生的学习主动性，使课堂充满积极的数学思考。

本节课的方法交流环节，更多地反映了学生的数学表达和评价参与。对于参与表达的学生，不但需要研究新的解决方法，更要通过自己的表达，让其他所有同学理解，实际上是提出了比较高的能力要求；对于其他聆听的同学，既是间接体验探究的过程，也是对不同表达的理解过程，又是对不同方法的辨析与欣赏的过程。

上海市延安中学　张雄（特级教师）