解析几何序言

情况简介

《解析几何序言》是2012年全国青年教师教学优质课（上海赛区）评比的规定课题之一。此课可以充分展现数学文化魅力。我曾在2012年11月上海市第三期名师工程复旦附中基地进行了一次教学实践。

相关论文《数学文化观下〈解析几何序言〉的教学设计与说明》发表于《上海中学数学》杂志2015年第1期。

文化教育价值

1.创造性：

朴素的对应思想促使了解析几何这门分支学科的创立。

2.思想的力量：

通过建立坐标系，建立了代数对象与几何对象的对应，运用“对应思想”，将原来风马牛不相及的代数与几何紧密地统整为一体。

3.历史性：

解析几何作为一门数学分支学科在17世纪诞生，归功于历史上两位数学家笛卡尔和费马。

4.情感体验：

体会笛卡尔在发明解析几何过程中的批判精神、感受费马的对数学研究的热忱与执着。

5.人文格调：

品读18世纪欧洲著名数学家、物理学家拉格朗日的格言。

教学设计与说明

教学目标：

知道什么是解析几何；

了解为什么要学习解析几何；

明确解析几何的本质：通过建立坐标系，用代数的方法解决几何问题；

体会笛卡尔的批判与创新、感受费马的热忱与执着。

教学重点与难点：

明确解析几何的本质——通过建立坐标系，用代数的方法解决几何问题。

教学过程：

1.课题引入

图1

图2

图3

（1）通过确切描述一只苍蝇的位置引入本课

通过确定天花板上一只苍蝇的位置以及描述苍蝇的爬行轨迹而引入本课。结合三幅幻灯片（见图1—3），逐一提问“如何确切地描述出苍蝇的具体位置？如何确切地描述出苍蝇的爬行路线？”从而促使学生想到建立坐标系，同时让学生明白通过建立坐标系，点和有序实数对产生对应关系，直线（曲线）和关于x，y的关系式（平面直角坐标系）产生对应关系。

（2）通过介绍笛卡尔发明了坐标系揭示课题

17世纪法国数学家笛卡尔发明坐标系的最初一闪念是在他注视一只苍蝇在天花板的一角爬行时，认为只要知道苍蝇与相邻两墙的距离之间的关系，就能描述苍蝇的路线。于是引出接下来要学习的第11章坐标平面上的直线和第12章圆锥曲线，它们都属于解析几何范畴，这节课是解析几何的序言课。

设计说明：

本段着力将史料转化为教育形态。由平面上一只苍蝇引入本课是缘于数学史料，能达到以下目的：①让学生经历数学知识的再创造过程。通过本段引入将学生的思维引导至数与形的对应上来，以便揭示数与形的对应关系是解析几何的核心。②强化建立坐标系的突出作用。由点到直线，由直线到更一般的曲线，由简单到复杂，由具体到一般，循序渐进，使学生经历了三次坐标系建立，强化坐标系建立的作用。

2.讲授新课

环节1：什么是解析几何？

（1）揭示几何对象与代数对象之间的对应关系

借助于“三个思考”（见表1）揭示几何与代数的对应关系。

对思考①，先给出直角坐标平面内的一个点，强调它是一个几何对象，再问该几何对象所对应的代数对象是什么。对思考②和③，先分别给出代数对象|x|＝2和x2＋y2＝4，让学生说出在平面直角坐标系中它们所对应的几何对象是什么。注：对思考③，需要将方程化为以克服思维障碍。

设计说明：

设计这样三个思考，目的强调几何与代数的对应关系。思考①，从几何对象到代数对象，思考②和③，从代数对象到几何对象，正向与逆向交织，强化了学生对几何对象与代数对象之间对应关系的理解，为后续要介绍的怎样学习解析几何，即通过对代数方程代数性质的研究进而得到几何图形的性质做好思想方法的铺垫。

思考：

表1

（2）揭示这是一门建立在方法论基础上的学科

证明：三角形的三条高线交于一点。（课前思考准备）

课堂上交流三种证明方法——综合几何法、向量几何法以及解析几何的坐标法。

随后幻灯片给出：

牛顿对欧氏几何的评价：缘于少数原理……却结成累累硕果，这就是几何的骄傲；

上海市中小学拓展型课程教材《平面向量与几何》前言中的一句话：利用向量的双重特性，能比较容易地建立起几何与代数的联系，从而自然地打开用代数方法解决几何问题的通道；

M·克莱因对解析几何的评价：在未来的岁月中，它的价值无可比拟。

设计说明：

通过方法对比凸显学科特性。似乎综合几何法与向量几何法和本课无关，但这正是笔者刻意安排的一个“干扰”，通过对比更有助理解“什么是解析几何”，以揭示这是一门建立在方法论基础上的学科。

假借名家之言提升人文格调。M·克莱因对解析几何的评价，既引出必要性，也为环节2做好衔接。

环节2：为什么学习解析几何？

（1）学科发展的需要。一些几何问题在解析几何中变得有章法可循，而不必依赖于综合几何法中起到关键作用的“灵感”。同时，由M·克莱因对解析几何的评价：在未来的岁月中，它的价值无可比拟，介绍微积分的诞生正是以解析几何为基础的，从而引出了解析几何的创立也是数学学科发展的需要。

（2）现实生活的需要。通过展示导弹飞行轨迹、行星绕恒星运行的椭圆轨道、摩天轮中的圆形、自然通风塔中的双曲线等图片，揭示学习解析几何是现实生产、生活的需要。

设计说明：

这里简单阐述学习解析几何的必要性。①交代与解析几何相关的学科发展。通过此环节让学生知道解析几何在数学发展历史中的作用与价值，领略数学进步的历史轨迹。②简介解析几何与人类社会的联系。通过一些现实中的具体实例图片，让学生对椭圆、双曲线等曲线留下直观印象。

环节3：怎样学习解析几何？

本环节试图继续通过几组几何对象与代数对象的关系（见表2）来揭示解析几何的本质——通过建立坐标系，用代数的方法解决几何问题。

思考：

表2

（1）通过具体一例揭示怎样学习解析几何

以具体研究思考④中的几何对象为例。先请学生观察这个几何对象，用数学语言表述出这个几何对象是满足怎样条件的一些点的集合（或轨迹）。然后请学生写出这个几何对象在平面直角坐标系中所对应的代数对象——|y|＝|x|或y2＝x2。接着研究这个代数对象所具有的性质。（x，y）是该方程的解，则（－x，y）、（x，－y）、（－x，－y）也是该方程的解。于是由代数对象即方程所具有的性质可以得到几何对象应该具有的几何性质，即关于x、y轴以及原点对称。

通过思考④的研究，揭示怎样学习解析几何，如下流程：对于一个几何对象，通过建立坐标系，得到相应的代数对象，研究这个代数对象所具有的代数性质，从而得到这个几何对象所具有的几何性质。

设计说明：

围绕方法论的角度展开教学。以思考④为例，引出在解析几何中研究几何问题与几何性质的一般方法——对于一个几何对象，通过建立坐标系，得到相应的代数对象，研究这个代数对象所具有的代数性质，从而得到这个几何对象所具有的几何性质。以此强调这是一门建立在方法论基础上的学科。

（2）通过几例多次体会怎样学习解析几何

回顾：“怎样学习解析几何”是本课的重点与难点，此环节我们再次回到思考②、③，让学生再次体验如何得到几何对象所具有的几何性质，以巩固上述总结的“怎样学习解析几何”的一般流程。

变式：思考④的代数对象也可以表示成x2－y2＝0，把方程右端的0改为1，自然过渡到思考⑤的代数对象x2－y2＝1。对思考⑤，先给出代数对象x2－y2＝1，请学生研究其代数性质，从而得到其对应几何对象所应具有的几何性质。可引导学生从以下三方面研究方程x2－y2＝1的代数性质。一是研究x，y范围。二是关于对称性的研究（按思考④的方式进行）。三是既然有对称性，不妨尝试研究第一象限图像的特点，其余象限的几何性质可以通过对称性得到（此处可引而不发，适当留白）。

深化：研究思考⑥，引导学生思考如何研究方程组所具有的代数性质，从而得到平面直角坐标系中抛物线和直线之间具有的几何关系。

设计说明：

学数学不仅仅是学解题，更为重要的是要学习研究问题或解决问题的思想与方法。这里先通过思考④引出解析几何中研究几何问题的一般方法，然后借助于思考②、③、⑤和⑥让学生经历了多次研究方法上的体验之旅，以敲实“在解析几何中，通过研究代数对象的代数性质来得到相应几何对象的几何性质”这种研究几何问题的方法。

3.课堂小结

（1）介绍两位解析几何的创立者。幻灯片呈现笛卡尔的一句话：无论是代数还是几何方面都不能令我满意。再呈现费马的一句话：两个未知量决定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线。费马的本职工作是律师，完全利用自己的业余时间进行数学研究。笛卡尔先有一条曲线，然后思考怎样让这条曲线对应一个代数对象。费马思考怎样让方程对应一个几何对象。他们虽是法国同时期数学家，但却各自独立地发明了坐标系。他们分享了解析几何奠基人的荣誉。

（2）朗读拉格朗日的一段话作为结束语：只要代数同几何分道扬镳，它们的进展就缓慢，它们的应用就狭窄。但是当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸取对方的新鲜活力，并迅速地趋于完善。

设计说明：

本段设计希望学生体会笛卡尔的批判与创新、感受费马在数学上的热忱与执着。通过齐声朗读朗格朗日的这段话，烘托课堂气氛，在学生们一字一句铿锵有力朗读的时候，相信他们的内心必在随之澎湃。

课例点评

解析几何是一门建立在方法论基础上的学科。《解析几何序言》一课的教学难点在于如何引导学生领悟解析几何的本质。都说序言课难上，徐泼老师选择此内容是需要勇气的。

徐泼老师通过“什么是解析几何”、“为什么学习解析几何”和“怎样学习解析几何”三个主要环节展开教学。整节课设计脉络清晰，教学过程流畅。

在引入环节，徐老师通过设计了几个问题串，“如何确切地描述出苍蝇的具体位置？”“如何确切地描述出苍蝇的爬行路线？”等，紧紧抓住学生的思维，步步为营。在几个关于“苍蝇”的问题串后，随即跟上一些学生已有学习经验的几何对象和代数对象，使学生的思维从具体自然地过渡到抽象，从而顺利地引入课题。

在“什么是解析几何”和“怎样学习解析几何”环节的教学过程中，徐老师共给出了6个思考——六组几何对象与代数对象。显然，这六个思考是经过精心挑选和设计的，每一个思考都符合学生的认知规律，是建立在学生已有的数学经验基础上的。6个思考的内容，从点到直线、从直线到圆、从一条曲线到两条曲线，循序渐进。6个思考的教学方式灵活，有从几何到代数的，也有从代数到几何的。课堂采用图形计算器辅助的教学手段，尤其是思考6运用了“动态图”模块，图像清晰、动态演示，很好地促进了学生的理解。徐老师用了一个流程图，从方法论层面上非常清晰地揭示了“怎样学习解析几何”，教学效果非常好。

本课在引入部分以笛卡尔发明坐标系的一个传说为背景，在“什么是解析几何”环节通过摘录名家之言将“解析几何”与“综合几何”、“向量几何”作了对比；在“为什么学习解析几何”环节交代了学习解析几何的必要性；在“怎样学习解析几何”环节从方法论角度揭示了解析几何的本质；在课的尾声部分简单介绍了解析几何的两位学科奠基人笛卡尔和费马；以全班齐声朗读拉格朗日对解析几何的一段评价结束。感觉整节课一气呵成，师生思维充分互动，高潮迭起。课堂中徐老师不时地向学生抛掷思维挣扎点，同时又做到深入浅出。

徐泼老师的课堂语言规范、板演有序、设计精致，足见她数学教学基本素养与功底的出类拔萃。

徐老师的这堂《解析几何序言》课为我们教师该如何上好序言课提供了一个优秀的范例，当然，如能在个别地方适当留白、引而不发，那将更有意味。

复旦大学附属中学　李秋明（正高级教师／特级教师）