数制及不同进制数的转换

计算机中的数据、信息都是以二进制形式编码表示的，而人们习惯于用十进制数来表示数据。所以，必须熟悉计算机中数据的表示方式，并掌握二进制、十进制、十六进制数之间的相互转换。

1.3.1　进位计数制

所谓进位计数制就是将一组固定的数字符号按序排列成数位，并遵照一套统一的规则由低位向高位进位的计数方式来表示数值的方法。其实，进位计数制只是一种计数方法，人们习惯上使用的十进位计数制由10个数字符号0、1、2、3、4、5、6、7、8、9组成，进位的规则是“逢十进一”。在一个数中，相同的数字符号在不同的数位上表示不同的数值。例如：十进制数“333.33”，从高位到低位，每个数字符号“3”分别表示300，30，3，3／10，3／100，即这个十进制数可表示为：

333.33＝3×102＋3×101＋3×100＋3×10－1＋3×10－2＝300＋30＋3＋3／10＋3／100

在一种计数制中，所用数字符号的个数称为该数制的“基数”。每位数字符号所表示的数值等于该数字符号值乘以该位的“位权”（简称“权”），权是以基数为底，以数字符号所处位置为指数的整数次幂。例如，上面十进制数的基数是10，从高位到低位的权分别是102、101、100、10－1、10－2。

十进制数是人们非常熟悉的，除此以外还可以用其他进位计数制。例如：每年12个月，是十二进制；每周7天，是七进制；每小时60分，每分60秒，是六十进制。因此，用任何进位计数制都是可以的。对于计算机的初学者，除了熟悉十进制数以外，还必须熟悉二进制、八进制和十六进制数。

十进制数有两个基本特点：逢十进一，基数为10。即每一数位上可使用“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”10个字符。例如：

（1011）10＝1×103＋0×102＋1×101＋1×100

二进制数有两个基本特点：逢二进一，基数为2。即每一数位上可使用“0、1”两个字符。例如：

（1011）2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝（11）10

八进制数有两个基本特点：逢八进一，基数为8。即每一数位上可使用“0、1、2、3、4、5、6、7”8个字符。例如：

（1011）8＝1×83＋0×82＋1×81＋1×80＝（521）10

十六进制数有两个基本特点：逢十六进一，基数为16。即每一数位上可使用“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F”16个字符，其中A、B、C、D、E、F分别表示十进制数的10、11、12、13、14、15。例如：

（1011）16＝1×163＋0×162＋1×161＋1×160＝（4113）10

同理　　（B1D）16＝11×162＋1×161＋13×160＝（2845）10

1.3.2　二进制数及其运算

1）二进制的优越性

尽管计算机可以处理各种进制的数据信息，但计算机内部只使用二进制计数。也就是说，在计算机内部只有“0”“1”两个数字符号。计算机内部为什么不使用十进制数而要使用二进制数呢？这是因为二进制数具有以下优越性：

①技术可行性。因为组成计算机的电子元器件本身具有可靠稳定的两种对立状态，如电位的高位与低位、晶体管的导通与截止、开关的接通与断开等。采用二进制数，只需用“0”“1”表示这两种状态，易于实现。

②运算简单性。采用二进制数，运算规则简单，便于简化计算机运算器结构，运算速度快。例如：二进制加法和乘法的运算法则都只有3条，如果采用十进制计数，加法和乘法的运算法则各有几十条，要处理这几十条法则，线路设计上会相当困难。

③吻合逻辑性。逻辑代数中的“真／假”“对／错”“是／否”表示事物的正反两个方面，并不具有数值性，用二进制数的“0／1”表示，刚好与之吻合，这就为计算机实现逻辑运算提供了有利条件。

2）二进制数的算术运算

二进制数的算术运算非常简单，它的基本运算是加法和减法，利用加法和减法可以进行乘法和除法运算。

（1）加法运算

两个二进制数相加时，要注意“逢二进一”的规则，并且每一位最多有3个数：本位的被加数、加数和来自低位的进位数。

加法运算法则：

0＋0＝0

0＋1＝1＋0＝1

1＋1＝10（逢二进一）

例1.1　（1100 0011）2＋（10 0101）2＝（1110 1000）2

（2）减法运算

两个二进制数相减时，要注意“借一作二”的规则，并且每一位最多有3个数：本位的被减数、减数和向高位的借位数。

减法运算法则：

0－0＝1－1＝0

1－0＝1

0－1＝1（借一作二）

例1.2　（1100 0011）2－（10 1101）2＝（1001 0110）2

（3）乘法运算

乘法运算法则：

0×0＝0

0×1＝1×0＝0

1×1＝1

例1.3　（1110）2×（1101）2＝（1011 0110）2

（4）除法运算

除法运算法则：

0÷1＝0（1÷0无意义）

1÷1＝1

例1.4　（100110）2÷（110）2＝（110）2…………（10）2余数

3）二进制数的逻辑运算

逻辑运算是对逻辑量的运算，对二进制数“0”“1”赋予逻辑含义就可以表示逻辑量的“真”与“假”。逻辑运算有3种基本运算：逻辑加、逻辑乘和逻辑非。逻辑运算与算术运算一样按位进行，但是位与位之间不存在进位和借位的关系。

（1）逻辑加运算（也称或运算）

逻辑加运算符用“∨”或“＋”表示。或运算的运算规则是：仅当两个参加运算的逻辑量都为“0”时，或的结果才为“0”；否则为“1”。

（2）逻辑乘运算（也称与运算）

逻辑乘运算符用“∧”或“×”表示。与运算的运算规则是：仅当两个参加运算的逻辑量都为“1”时，与的结果才为“1”；否则为“0”。

（3）逻辑非运算（也称非运算）

逻辑非运算符用“～”表示，或者在逻辑量的上方加一横线表示，如