学科教师专业知识“质”的分析

第五节　学科教师专业知识“质”的分析

从“质”的角度去分析学科教师专业知识掌握的质量水平，换句话说就是教师灵活运用专业知识于课堂教学的水平或教师专业知识的应用能力。如何检验教师的专业知识应用能力？开发什么样的工具来检验？我们认为，可以通过课例分析透视教学知识的运用情况并获得教师专业知识“质”的情况。本节以数学学科教师为例，依托数学课程中“数学归纳法”课例，剖析教师专业知识拥有和应用情况。^[26]

一、“数学归纳法”教学的专业知识基础

数学归纳法是证明与自然数有关命题的有效方法，也是数学中一种重要数学方法。关于数学归纳法的教学研究已非常多，本节试从数学教师专业知识视角去分析，探讨数学教师教学数学归纳法应该具备怎样的专业知识基础，以期为更有效地实施数学归纳法教学提供帮助。根据数学教学专业知识结构分析，我们认为，教授数学归纳法，教师至少应具备四个方面的知识基础：数学归纳法的源知识、数学归纳法学习的心理知识、数学归纳法的教学知识以及应用数学归纳法的知识，下面分别论述。

（一）数学归纳法思想的源知识

数学归纳法思想萌芽于古希腊时代，欧几里得在证明素数有无穷多个的方法中，就隐含着数学归纳法的思想：若有n个素数（p₁，p₂，…，p_n），就必然存在第n＋1个素数（p₁p₂…p_n＋1），因而推出素数有无限多个。16世纪，意大利数学家莫洛克斯在他的《算术》一书中明确提出一个“递归推理”原则，并用它论证了命题“1＋3＋…＋（2n－1）＝n²对任何自然数n都成立”。不过他并没有对这一原则做出清晰的表述。明确阐述并使用数学归纳法的是17世纪法国数学家和物理学家帕斯卡，他发现了一种被后人称作“帕斯卡三角形”的数表，即二项展开式系数表，中国称为“杨辉三角”，它是我国宋代数学家贾宪于公元11世纪最先发现的。帕斯卡在研究证明有关这个“算术三角形”的一些命题时，准确而清晰地指出了证明过程所必须且只需的两个步骤，他称之为第一条引理和第二条引理：

第一条引理：该命题对于第一个底（即n＝1）成立。

第二条引理：如果该命题对任一底（对任一n）成立，它必对其下一底（对n＋1）也成立。

由此可得，该命题必定对所有n值都成立。

这两条引理从本质上讲就是数学归纳法的两个重要步骤，在他1654年写就的著作《论算术三角形》中做了详尽的论述。因此，在数学史上，人们公认帕斯卡是数学归纳法的创建人。

由于帕斯卡时代尚没有建立起表示一般自然数的符号体系，所以帕斯卡的思想论述只是以例子的形式来陈述。直至1686年，瑞士数学家J.伯努利提出表示任意自然数的符号之后，在他的《猜度术》一书中才给出并使用了现代形式的数学归纳法。这样，数学归纳法开始得到世人的承认并开始在数学领域得到日益广泛的应用。后来，英国数学家德·摩根给出了“数学归纳法（mathematical induction）”的名称。1889年，意大利数学家皮亚诺建立自然数的公理体系时，提出归纳公理，从此数学归纳法有了数学上的逻辑基础。

归纳公理：对于正整数集N^＋的任意子集合M，如果满足：

①1∈M；

②若a∈M，则a＋1∈M，

则M＝N^＋

数学归纳法用公理化形式符号表示就是：

[P（1）和∀k[P（k）→P（k＋1）]]→∀n，P（n）。

这样，人们就实现了用有限的工作（证明两步）解决需无穷多次验证才能明白的问题！其中，第一步证明“P（1）”叫奠基，是递推的基础，第二步证明“P（k）→P（k＋1）”叫归纳推理，是递推的依据。

数学归纳法是递推思想的一种典型应用，证明“如果当n＝k时成立，那么当n＝k＋1时也成立”，实际上是证明某种递推关系的存在，或者说证明命题具有传递性，正是通过这一步，用一次性的逻辑推理代替了无限的验证过程，实现了从有限到无限的过渡。在这一步中，我们要证明的是蕴涵命题“若P（k），则P（k＋1）”，其中，P（k）叫归纳假设。我们不关心P（k）的真假，而只关心当P（k）为真时必导致P（k＋1）也为真。

这个方法的原理在于第一步证明起始值是成立的，然后证明任何一个值到其下一个值的传递过程是有效的。如果这两步都被证明了，那么任何一个值的证明都可以被包含在重复不断进行的过程中。正如庞加莱所说：“把无穷的三段论纳入唯一的公式中。”

数学归纳法与人们通常说的逻辑学中的“归纳法”的关系不是特殊与一般的关系。就作为原理的数学归纳法而言，其证明是演绎的，其中，归纳公理是证明中的一个大前提；就作为证明方法的数学归纳法而言，显然是演绎法，其中，证明过程中的第^[27]、②步是推理的小前提，数学归纳法原理是推理的大前提，至于作为子过程的第①、②步的验证和证明更是演绎的。所以，严格说来，数学归纳法属于演绎方法。也许有人认为，数学归纳法最终由“递推”实现了证明命题对每一个自然数都成立，潜在地穷尽了所有的自然数，从而根据“完全归纳法”原理（完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来）断定命题真，它可以属于归纳法。但是，逻辑学中的“归纳法”都是针对情景有限情况的，没有针对无限多种情况的，因此，数学归纳法不属于归纳法。^①

关于数学归纳法原理的合理性或科学性解释可以建立在不同层次上。如果是在朴素的基础上介绍数学归纳法思想，那么答案是离不开自然数的有序性的，正是自然数的有序性才使“递推”得以无限进行下去；如果是建立在严密的数学逻辑推理之上来解释，那么也就是数学归纳法的严格证明了，根据可以是归纳公理，也可以是最小数原理。

数学归纳法充分体现了有限与无限的辩证关系与矛盾转化思想，它是沟通有限和无限的桥梁，假如没有这个桥梁，很难想象人类如何处理与自然数有关的问题，数学的发展也将会大打折扣。

（二）数学归纳法学习的心理知识

数学学习心理知识是数学教师成功而有效教学的基础。只有明了学生在学习某一数学知识的心理准备、认知基础，才可能预设学习中遭遇的困难并寻找恰当的逾越途径。有经验的数学教师都善于积累学生知识学习方面的困难，并分析成因，集腋成裘，就可使教师教学胸有成竹。数学归纳法学习方面的心理知识国内外都有研究。

数学归纳法作为一种证明方法，在证题中需要从两个方面入手：第一个方面，是针对一些简单而具体的场合，实际地检验命题是否成立，这些检验一般是比较容易完成的。因为这时只要将n的一些具体值，通常是将n＝1代入所要检验的命题，简单地算一算就可以了。尽管简单，但是这些检验却是必不可少的，因为只有通过这些检验，我们才有理由承认所要证明的命题是有可能成立的。第二个方面，则是要在“命题对n成立”的假设下，利用命题中的条件，数学中的原理和方法，进行严密而正确地推理，得出“命题对n＋1也成立”的结论。教学实践及相关研究表明，学生学习数学归纳法常常是掌握了数学归纳法的证明技巧，却不能真正理解它的意义，存在一定的心理困难。

菲施拜因（E.Fischbein）的研究表明，学生学习数学归纳法面临的心理问题是：命题P（k）（归纳假设）在证明过程中出现了两次，而一次是作为被证的命题，一次是作为命题成立的假设条件。理解的难点是：关键的第二步的证明过程整个建立在一个命题（P（k））上，而这个命题本身又未被预先证明，并且在推理过程中不加以证明。这是学生过去学习从未遇到的。^[28]

由于这种疑虑的影响，学生不能将归纳假设P（k）在归纳推理中看成一个命题。于是，他们就会进一步产生以下想法：

（1）归纳假设的成立是没有保证的；

（2）归纳假设的成立是不能证明的；

（3）归纳假设的根据是有限的（在某种情况下，它可能不成立）。

简而言之，归纳推理需要一个建立于自身之上的证明，我们要证明的蕴含关系p→q对于其两部分p和q来说，它们的客观正确性在归纳推理这一过程中是完全没有关系的，这个想法看来无法被学生直观地接受。这种情况被“前提p已经包含了要证明的定理”弄复杂了。学生的想法是想验证前提是否成立，于是他们就弄不懂前提的承认要依赖于被证的定理。

我国的一些研究者也指出了学生面临的类似的心理困难：

（4）“n＝k时，命题P（k）到底成立还是不成立？怎样证明？”

（5）为什么可以“假设n＝k时结论正确”呢？

（6）“假设n＝k时命题成立不就是假设原命题成立吗？”把n＝k时的假设P（k）与原命题P（n）混淆起来。

（7）对数学归纳法的真实性表示困惑。为什么证明了“两个步骤”就可以断言命题对一切自然数都成立呢？为什么只须验证“n＝1”的情况呢？因为学生在学习这一内容以前所进行的论证，其证明思路和表达方式都类似于日常生活的推理，他们容易理解。而数学归纳法却完全不同，他们也许从来也没有想过可以这样来说明一件事的真实性，这也叫证明吗？

（8）具体使用数学归纳法是一种全新的证明格式，它的掌握需要一个过程，尤其到第二步的证明更感陌生，不知道如何使用（甚至不使用）归纳假设，不能自觉寻找P（k＋1）与P（k）的递推关系。

总之，数学归纳法内容抽象，思想新颖，结构复杂，加上学生原有的认知结构对于同化“数学归纳法”无论是数学知识还是逻辑知识都不够充分，所以他们不易领会和掌握，对数学归纳法的实质往往停留在“形式”上。如何解决这一问题？一种有效的解决办法就是类比。

“类比是最伟大的引路人。”在这里，类比的对象就是人们熟悉的多米诺骨牌或“倒砖”游戏，通过类比引入思考“让它们全部倒下”的条件问题：①如果不推倒任何一块牌或砖，这些牌或砖能全部倒下吗？②如果在牌或砖的某一段上拿走一块，那么你推倒第一块牌或砖能保证全部倒下吗？③怎样才能保证都倒下呢？这样，对于数学归纳法的应用前提和场合提供了形象化的参照，对理解数学归纳法作了感情和思想认识上的铺垫，同时类比出将“全部自然数拿下”的两个条件，即数学归纳法的两个关键步骤。

学生容易看轻第一步的验证，教师可以通过实际反例进行说明其不可忽视性。如对于命题P（n）：1＋3＋5＋…＋（2n＋1）＝（n＋1）²＋1，我们有

假设当n＝k时公式成立，则当n＝k＋1时

　　　1＋3＋5＋…＋（2k－1）＋（2k＋1）＝[1＋3＋5＋…＋（2k－1）]＋（2k＋1）

　　＝k²＋1＋2k＋1＝（k＋1）²＋1

这是数学归纳法的第二步，尽管得证，但命题显然是错误的。因为当n＝1时，公式就不成立。

对于第二步的理解，教师可以单独抽出来进行专门分析。事实上，第二步的任务是证明命题P（n）对自然数n具有传递性，即证明一个一般性命题“当P（k）成立时，P（k＋1）也成立”，而至于当n＝k时P（k）是否真正成立或是否已被证明成立，都不是第二步所关心的问题，我们关心的是在假设P（k）成立的情况下能否推证出P（k＋1）也成立！因为如果这个假言命题被证明，那么根据第一步已证实的东西，就可以递推出所有自然数情况下结论被证实。把第二步拿出来分析，其实就是：

假设F（k）＝G（k），求证F（k＋1）＝G（k＋1）。

证明：F（k＋1）＝F（F（k），k）（找递推关系）

　　　＝F（G（k），k）（代入归纳假设）

　　　＝G（k＋1）（进行恒等变形）

在证明P（k＋1）为真时，一定要用到归纳假设，否则证明就算有误，或者所用的方法就不是数学归纳法。也就是说，第二步一开始的P（k）为真的假设不是可有可无，它不是“摆设”，而是在接下来的证明中起着已知条件的作用，不可或缺，也只有用上归纳假设这个条件，才表明由n＝k时命题成立而导出n＝k＋1时命题成立的递推关系的真实存在。

在具体证明数学归纳法第二步“由P（k）为真推出P（k＋1）为真”时，除了运用上先前的假设“n＝k时等式成立”外，形式上的变化也是很关键的技术，有时需要综合运用相关知识，这需要学生在证题中认真体会、领悟。

（三）数学归纳法的教学知识

懂并深刻理解掌握某一数学知识是一名数学教师拥有该数学知识的标志，作为教师，更重要的是掌握这个数学知识应如何“教”，这就是数学教师的教学知识。数学教学知识是数学学者与数学教师的根本区别之所在，重要性不言而喻。

关于数学归纳法的教学知识，著名数学家华罗庚先生在解释数学归纳法原理时建议：“我们采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，我们能够证明第1号命题是正确的；如果我们能够证明在第k号命题正确的时候，第k＋1号命题也是正确的，那么，这一批命题就全部正确。”^[29]这其实给出了数学归纳法教学设计的分解模式，即将原命题分解为一组命题的“与”命题：

∀n（p（n））≡p（1）∧p（2）∧p（3）∧…∧p（k）∧p（k＋1）∧…。

上述命题的等价性学生没有什么心理疑问。而由数学归纳法原理的两步证明或两个子命题推出“与”命题组相对来讲也比较好理解：

[p（1）和∀k[p（k）→p（k＋1）]]⇒p（1）∧p（2）∧…

∧p（k）∧p（k＋1）∧…

如果再配以图2.3，学生就更容易“直观”理解了：

图2.3　数学归纳法原理

当然，上述诠释属于对数学归纳法本质的理解，可以在对数学归纳法有了初步了解之后进行，有助于消除对数学归纳法的种种“疑虑”。作为数学归纳法引入教学，我们认为采用多米诺骨牌方式进行教学设计还是比较合理的，也是大家喜闻乐见的。

多米诺骨牌给我们的启示是：即使对无穷多块多米诺骨牌，只要排法“正确”，就可在启动第一块后，保证所有的骨牌都能倒下。这里所谓的“正确”含义应指什么可让学生去分析抽取，是指多米诺骨牌排法满足下面的条件：对任意相邻的两块骨牌，当前一块骨牌倒下，都能导致后一块骨牌倒下。那么，将每个正整数当成一块多米诺骨牌，命题对一个正整数成立就认为这个正整数被“放倒”，全部多米诺骨牌倒下的条件转化为正整数满足的条件，就是证明一个蕴涵“传递性”的命题T：“对任意一个数k，若它成立，则对它下一个数k＋1也成立”，因为对第一个数1正确，根据命题T，对2也正确，再根据命题T，对3也正确，……以至对所有的自然数都成立。

其实，我们通常理解的数学归纳法是数学归纳法原理，在这个原理指导下，我们得到了利用数学归纳法原理证明问题的一般方法（即数学归纳法）步骤：（1）证明n＝1时成立；（2）证明当n＝k时成立时能推出n＝k＋1时也成立；（3）根据数学归纳法原理断言对所有的成立即结论。正如利用平行线传递性证明两条直线平行一样简单：（1）证明a∥c；（2）证明b∥c；（3）根据平行线传递性原理得结论。正是由于数学归纳法原理形式上那么明确具体规范易套用，就直接称为了方法。关于数学归纳法的教学，教师可不去辨析它是归纳法还是演绎法，没有必要，因为学生连什么是归纳法和演绎法大概也不清楚，干吗让他去归类数学归纳法属于谁呢？根据课程标准，对学生而言，只要让学生了解数学归纳法思想，会用数学归纳法证明问题就够了。所以，实际教学中我们不主张去解释或问学生这样的问题，实现学生理解数学归纳法思想、心无疑虑并能用于解决问题的目标就可以了。

另外，我们也应该记住荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔的观点：学习数学归纳法的正确途径是，向学生提出一些必须用数学归纳法才能解决的问题，迫使他们直观地去使用这个方法，从而发现这个方法，在学生发现了和懂得了这个方法后，再去帮助他们用抽象的形式把它叙述出来。所以，作为教学开端的问题应是学生难以找到其他方法解决的问题，由此引出寻找新证明方法的必要性。

（四）数学归纳法的应用知识

对于数学教师而言，关于数学知识的应用知识在一定程度上决定着教师的专业能力和水平，因为数学教师拥有的数学学科知识尤其是涉及中小学数学学习内容的数学学科知识基本没有差异，差别就在于关于这些数学学科知识的应用知识（数学内部的应用和其他学科领域或实际中的应用知识）。数学知识的应用知识包括该数学知识有哪些应用和如何应用该数学知识解决问题两个方面。就数学归纳法而言，我们通常见到的数学归纳法证明事例都是关于数学等式或不等式的，如果教学设计中丰富一些非等式或不等式的例子，可以拓展数学归纳法的应用视野，提高学生的学习兴趣，这里提供两个事例供教学参考。

例1　如图2.4（a），是一个2×2正方形方格盘去掉一个小正方形格后剩下的图形，我们称之为一个“亏格”。试证明，对任意2ⁿ×2ⁿ正方形方格盘，如果其中空缺一格（即去掉一个小正方形格），都可用若干个“亏格”不重叠地将其覆盖。如对于2²×2²正方形方格盘，我们随意空缺一格，就可以用5个亏格将其不重叠地覆盖，如图2.4（b）和（c）就是其中两种情形（画阴影的小方格表示空缺）。

图2.4

图2.5

分析：首先，通过推理可以得出，对于2ⁿ×2ⁿ正方形方格盘，如果其中空缺一格，则还剩有4ⁿ－1格，如果能够覆盖，由于亏格有三个格，则必是用＝4^n－1＋4^n－2＋…+4+1个亏格不重叠地将其盖满（具体覆盖法可以选择由空格的附近着手）。下面用数学归纳法证明。

①当n＝1时，显然，无论去掉哪个位置的一个格，最后都可用一个亏格盖满。

②假设当n＝k时原命题成立，即对于2^k×2^k的正方形方格盘（其中空缺一格）可用4^n－1＋4^n－2＋…+4+1个亏格不重叠地将其盖满，则当n＝k＋1时，对于2^k＋1×2^k＋1的正方形方格盘（其中空缺一格），可先以一个亏格盖在正方形方格盘的正中央，如果把这个亏格盖住的三个格也看成三个空格，则通过适当调整位置就可以使图形中含有四个空格（这只需将亏格空的部位对着方格盘中的空格，如图2.5是一种特殊情形），那么，如果以方格盘正中央的纵、横线将2^k＋1×2^k＋1的正方形方格盘（其中空缺一格）平分为四个2^k×2^k的正方形方格盘，则必能保证其中每一个中都有一格空缺，于是，根据假设，可用4倍的亏格覆盖，即

　　4（4^k－1＋4^k－2＋…+4+1）＋1＝4^k＋4^k－1＋…+4+1

亦即n＝k＋1时，原命题也成立。

由①，②及数学归纳法知，原命题恒成立。

例2　设有2ⁿ个球分成了许多堆，我们可以任取甲、乙两堆，按如下规则挪动：若甲堆的球数p不少于乙堆的球数q，则从甲堆中拿出q个球放入乙堆，这算是挪动了一次，证明可以经过有限次挪动把所有的球并成一堆。

证明：当n＝1时，只有2个球，它们可能在同一堆中，也可能被分成两堆，每堆一个球，于是只要挪动一次即可并成一堆，知命题成立。

设n＝k时命题成立，要证n＝k＋1时，命题也成立。由于当n＝k时，有2^k个球，而当n＝k＋1时，却有2^k＋1个球，球数多了一倍，这需要创造条件利用归纳假设。

首先，在由2^k＋1个球所分出的许多堆球中，球数为奇数的堆必有偶数个。于是可将这些球数为奇数的堆两两配对，并在每一对中的两堆球之间进行一次挪动，便可使所有这些堆中的球数都变为偶数，当然可能会有些堆中的球数变为0。这时，我们再将每一堆中的球都两个两个地绑在一起，视为一个“球”，于是总“球”数变为2^k个，因而由归纳假设知，它们可在有限步挪动之后全部并入一堆。

最后，让我们引用著名数学家庞加莱的话作为进一步思考的引子：“我们只能循着数学归纳法而前进，只有它能教给我们新的东西。如果没有这种与自然归纳法不同但却同样极为有用的归纳法的帮助，演绎法是无力去创造出一种科学来的。……最后要注意，这种归纳法只是在同一运算能够无限重复时才是可能的。这就是下象棋的理论永远不能变成一种科学的原因：因为局中的各步并不是彼此相像的。”

二、数学教师数学归纳法专业知识的拥有和应用差异比较

下面我们选择两个比较优秀的教师的关于“数学归纳法”的同课异构数学课堂教学来分析研究数学教师专业知识“质”的情况。^[30]

（一）关于教学内容的解析比较

新课程教学设计提倡教学设计要对教材内容或教学任务进行解析，目的是从更高的观点认识教学内容，更深刻地理解教学内容，更全面地认识教学内容的地位、属性、前后联系等。就对数学思想方法教学内容的解析而言，应包括对数学思想方法的本质内涵的阐释，包括从系统观或高观点去解释数学思想方法，该思想方法的产生和发展历史或源头及延伸的说明；该思想方法的地位和作用的解析，这个思想方法能用于解决哪些领域的什么问题（以案例的形式），解决问题的程序怎样，运用的前提和情景；该教学内容与前后相关教学内容的联系等。通过教学内容的解析，建构起对这个思想方法本质的认识框架以及与数学其他知识的联系。内容分析的透彻与否，与教师的专业知识有直接的联系，也是教学设计的前提基础。

根据教材分析的框架，两位教师的教材内容解析，我们认为还是比较到位的。尤其是甲老师，从数学归纳法的历史根源、思想实质、教育形态的处理、应用及理论根据几个方面进行了较为全面的分析，不足之处是没有体现本部分内容在教材中的地位，与前后内容之间的联系。乙老师注重了教材内容的地位及前后的联系，但对思想方法的认识揭示的不够，基本是同水平的意义的反复。

表2.4　教学内容解析的比较

续表

（二）教学目标解析比较分析

一节课，只有教学目标定位准确而恰当，才能瞄准目标去教学，教学效果才能最佳。如果教学目标定位不明，教师教学就会无的放矢。中学数学核心概念、数学思想方法及其教学设计课题研究要求教师根据教学内容的分析（如地位、核心）及课程标准的要求，详细制定与分层解析教学目标，不仅简单说明目标是什么，而且要对各教学目标进行解析，指出各目标的具体含义是什么，如什么是“掌握”本内容？最好能给出一个判定标准。需要有对数学思想方法描述的容易判断是否达成的或达成度容易确定的行为动词，如渗透、体验、了解、理解、掌握、运用等——结合内容具体解析本目标的含义和判断标准。尽量全面，包括认知目标、能力（技能）目标、情感目标，隐性的目标渗透在显性目标中。就思想方法教学目标的解析而言，一般应做到对目标内涵的说明。目标陈述包含过程、实现的手段的说明，甚至包含目标的达成度和检测的标准。

两位教师的目标解析都过于一般和传统化，不是太到位，目标比较单一。乙教师在目标制定中就将数学归纳法的一般情况设计为教学目标了。我们认为，关于数学归纳法，目标应该层次化，先是简单地从“n＝1开始的形式”进行细致研究，等掌握、巩固之后再迁移到一般情形上去。

表2.5　教学目标解析比较

（三）教学问题诊断比较分析

在中学数学核心概念、数学思想方法及其教学设计课题研究中，特别要求关注教学问题诊断，要求教师真正根据学生的学习心理和认知水平，以及前此经验和知识储备，为实现教学目标，对本内容教与学中学生可能遇到的障碍问题做出具体的预测和追因分析（根源的分析），并提出有效的处理对策。特别是，从这些可能遇到的不同问题中确定出教学难点问题，作为教学重点突破。只有这样，教师进行教学设计才能做到“知己知彼，百战不殆”。分析两位教师的教学问题诊断分析，我们发现，甲老师分析相对透彻和全面，尤其是对前此学生已具有的知识和经验诊断准确。

表2.6　教学问题诊断分析比较

续表

在这里，甲教师对学生认知基础进行了分析，结合新授内容的特点，预设了学生可能遭遇的困难，并给出了突破难点的方法：通过对具体问题的解决，提炼出方法的一般模式。甲教师还指出，“数学归纳法运用时对起点可做适当的偏移”，这与乙教师的设计思想完全不同，后者直接归纳出一般形式的数学归纳法。甲认为，“本课侧重解决对数学归纳法原理的初步理解及对两步骤的简单运用上。”对第二步的证明有一定的技巧，这些都可以留置下一课时解决。而乙教师只是简单地给出难点和突破难点的方法，缺少分析基础。

（四）教学支持条件分析的比较

为了更好地实现教学目标和克服教学难点，教学可能需要一定的支持条件，这就是课题研究提出的要根据教学问题诊断分析和目标分析进一步分析教学支持条件。支持条件分析不是简单地罗列教学用具或课件，而是要根据前面的分析，看需要什么样的教学条件，尤其是重点和难点的分析，哪个地方需要条件支持，怎样支持？这里，还需要依据教育教学基本原理，顺理成章，不强加技术。这就是现代教育技术的“当用则用、不必要时不用”的原则。

分析两位老师的教学支持条件分析，我们发现：甲教师只是做了笼统地说明：对于“无穷”与“递推”的描述，仅靠语言及符号是苍白的，借助于录像等直观形象的媒体可以更有助于学生的想象与理解。而乙教师分析较为具体，对技术使用的必要性进行了适当说明，使得教学不是为使用技术而使用技术：利用flash软件，动态地演示多米诺骨牌，从中体会并理解“递推的基础”和“递推的过程”，知道只有把“递推的基础”与“递推的过程”结合起来，才能完成整个推理，这就是数学归纳法的核心思想。根据表现可以看出，两位教师在现代教育技术使用方面观念知识上或技术运用上还是有差异的。

利用实物投影代替学生的板演，因为班级授课制，面对的是一个集体，而板演是个别学生，实物投影则可以选择有代表性的典型的错误解法和正确解法，增强教学效果。尤其需要指出的是，在教学支持条件分析中，除了技术支持之外，乙教师还对学生已有的基础（也是教学的前提条件）进行了分析，指出，在进行本节课的教学时，学生已经在数学必修5中学习了不完全归纳法（推导等差、等比数列的通项公式），本章合情推理例1的思维模式就是“观察—归纳—猜想—证明”，这些内容是学生理解推理思想和证明方法的重要基础。

（五）教学设计过程突出了问题驱动教学思想

教学过程设计是建立在前面分析基础上的课堂教学活动预设计划，是前面分析的结果在课堂教学活动的选择上的应用。教学过程设计不应该是形式化的东西，一定与前面是前后呼应的，具有内在逻辑联系。在具体写法方面，以问题串的形式——突出问题引导学习的教学思想（问题、设计意图、问题下的师生活动过程的预设、需要概括的思想方法、需要进行的技能训练和能力培养），体现问题驱动教学法思想。

就课堂教学活动结构而言，两位老师的形式基本相同：情境感受、提出问题、方法的探寻和形成、方法的应用和巩固、小结，都是以问题链的形式设计的过程。下面就从情境的创设和问题的引入、方法的形成和释义、方法的应用和小结等几个方面做比较分析。

表2.7　情境的创设比较

续表

续表

可以看出，两个教学设计不同，一个是从特殊到一般的提炼概括，一个是从类比中抽象出。甲教师是针对面临的一个具体问题引导学生寻找证明方法，让学生认识这种方法合理性、可接受性。让学生感觉就是在通过探究解决一个数学问题，而解题的收获就是一个新方法的发现，在解题中获得方法。但是，甲教师以一个特例的证明探究来展示方法的具体形态，这是我们进行归纳概括提炼的基本模式，设计者是想通过由特殊到一般地概括出数学归纳法，没有用到类比，所以情境的创设感到似乎多余。乙教师通过类比直接给出解决这类问题的一般原理——数学归纳法。通过游戏分析得出“全倒下”的条件，进而将这个条件迁移到数学上来，并确认这种类比过来的方法是正确的，从而得到方法。在类比的过程中获得数学归纳法。

表2.8　方法的获得和释义比较

比较可见：甲教师通过特殊到一般提炼出数学归纳法，因为方法是相通的，方法的提炼事实是对一种模式的提炼，提炼应该不成问题。进一步通过联系生活例子，让学生进一步理解数学归纳法的原理，体会数学与现实生活之间的联系和类比。乙教师通过类比，引导出数学归纳法原理，并试图通过进一步追问，加深认识，但是，我们认为，问题3追问得不当，方法是通过上述的类比过程得到，再问为什么，要么多余，要么让学生无所适从，我们认为不需要强调这一点，提前打预防针的做法可能是教师习惯的教学行为，教师总做些防患于未然的事情或“未卜先知”的事情。另外，乙教师一开始就给出数学归纳法的一般形式，增加了教学的难度，这种设计不太符合学生的认知发展规律。后用填框图式的对证明步骤进行填写，过于数学化地处理了。

表2.9　方法的应用设计比较

比较可见：在加深理解方面，两位教师都用了反例，从反面去认识。甲老师在这里对方法进行了拓展，乙老师给学生两个练习。分析练习，乙老师的两个题目都比较简单，目的可能只在于练习数学归纳法。甲的拓展比乙的混合的处理要好，因为没有不从1开始的事例来进行说明。根据心理学分析，正面的东西牢固掌握后，再提出容易出错的地方加以注意，而不应该在没有牢固掌握的时候就从不利的一面进行诉说，容易搞混。这里的两步是学生自然分析得出的，不需要设计这样的低级的题目去分析步骤的缺一不可。

表2.10　小结比较

比较可见：两位教师的小结都是以问题形式进行的，甲老师用了新课程下常用的问题“在学习与思考中你还有哪些疑惑”以及一个有所寓意的问题作为结束。乙教师更直接、更传统，围绕数学归纳法的使用技巧进行了系统和点拨。

三、研究结论

首先，教师对数学归纳法是否是归纳法还是有分歧的。其中一个教师说是归纳法，一个说不是归纳法。这说明教师的专业知识还是有所不同的。

其次，两位教师在教学问题诊断方面，呈现出显著差异，甲教师明显显示出具有更多的数学学科内容教学法知识。

第三，教师的教学方法论是重要的教师专业知识内容成分。指导教学的方法论不同，教学设计就不同。甲教师采用从特殊到一般的抽象概括教学方法思想，而乙教师使用类比合情推理的教学方法思想。我们常说的“教无定法”大概源于教师拥有的不同的教学方法论观点。

第四，两位教师对反例的作用和认识的知识基本相同，认为在概念、知识和方法的学习中要及时地利用反例说明、厘清“是什么和不是什么”，在两堂课中，都充分显示了这一点。其实，这个“知识”欠当。因为，反例不适宜在正面没有得到充分认识和巩固的情况下使用，这样可能造成负面影响，将问题弄混了。要在学生有了一定认识之后，必要时再用反例进行说明。

第五，从课堂实践情况来看，甲教师教学效果相对来讲更好一些。其实，两位教师都是非常优秀的教师，甲教师教学基本功过硬，乙教师科研能力非常强。教学实践是教师实践性知识的来源，而科研是促进教师专业知识发展的重要路径。哪个更对教学有显现功能，值得我们进一步思考。

第六，教师在教育心理学知识应用实践方面还欠缺准确把握。如大家都知道，教学为了引起学生的注意和挑起学习的欲望，需要故意设置认知冲突或让学生感到学习的必要性。但是，两位教师运用的都不太理想，尤其是乙教师，设计的问题都显示不出多大的必要性。再如，学习是递进的，应遵循从简单到复杂的递进规律，但乙教师还是直接给出有难度的过于一般的形式。应先将简单的数学归纳法原理基础打牢，不要急于考虑数学归纳法的另外的形式，向一般形式的数学归纳法的过渡其实非常简单，只要将数学归纳法的基本形式熟练、深刻理解，转化到其他形式是非常自然而水到渠成的事情。

第七，在评课和私下讨论交流阶段，有教师认为，用平面上画一条线，将平面分成几部分？两条直线呢？n条直线呢？n＋1条直线呢？试图通过“用n条线最多分几部分，来推证n＋1条直线能分成几部分”来建立递推模式，认为这是数学归纳法的核心。这个模式是f（n＋1）＝f（n）＋（n＋1）。其实，递推关系并不能有助于数学归纳法的理解和建构。跟教科书上的数列递推关系到猜想通项公式，一样只能得到递推关系，而不能建立起数学归纳法模式。数学归纳法中的递推，是依据证明的第二个命题进行的定性递推，依靠的是正整数的有序性，而不是有固定关系式的关系递推。关于数学归纳法模式的建立还是存在商榷的余地的。

第八，作为教学反思，我们认为，教师还需要进行专业知识的学习，尤其是学科教学法知识。如，在明确了数学归纳法原理之后，为了让学生进一步从心里明白、真正认可为什么证明这两步就可以确定对所有的都成立？教师可用反证法进行附带说明：假如两条都满足了，而结果并不是对所有的正整数都成立，不妨设对m 0不成立。那么根据证明的第二步，必然有m 0－1不成立，否则，根据第二步，m 0就成立了。同理，倒推下去，就逐步得到对2也不成立，1也不成立，矛盾！根据反证法，应对所有的成立。如果能够这样做，想必学生更能认可数学归纳法。

四、教师专业知识质的研究启示

从上面的比较分析可以看出，教师专业知识在掌握和运用方面存在“质”的差异。这也是教师之间重要差别之所在，即便拥有同样的专业知识，在运用中也存在差异。这些“质”的差异主要体现在：（1）对知识的理解层次有不同。（2）对知识的合理运用有不同。

掌握知识，更重要的是应用知识，教师在应用教学知识方面的能力存在差异。从能力的形成来看，需要应用这些知识才能形成能力，通过学科教学知识的应用，实践性知识的形成，才能提高教师专业知识应用能力水平。许多教师可能不差基本的专业知识，差的恰恰是灵活运用这些知识的能力。知识只有被经常运用才能更灵活，教师要有意识地去调用头脑中的专业知识指导教学实践。

关于教师专业知识质的研究应采取多种方法与视角，特别是质的研究方法，可从教师的日常工作入手，考察教师在典型教育教学场景中的行为表现，并通过对话了解教师个体对知识的意义解释，全方位地展示教师的知识“质”的特征。

为提高教师专业知识的“质”，需要加强教师专业知识运用技能的研究，如开展学科教学知识的临床应用工艺研究，学科知识的不同表征训练等。

对于当前流行的名师工作室、“师徒制”教师专业发展模式，名师作为指导者，应该对工作室成员或徒弟的教师专业知识“质”、“量”有一个深入了解，这样才能有的放矢地带动他们成长。

【注释】

[1]刘清华：《教师知识的研究问题与建构路向》，《教育理论与实践》2005年第11期，第45－48页。

[2]Grouws：《数学教与学研究手册》，上海教育出版社1999年版。

[3]Brommerw R.：《数学教学理论是一门科学》，上海教育出版社1998年版。

[4]王子兴：《论数学教师专业化内涵》，《数学教育学报》2002年第4期。

[5]辛涛等：《从教师的知识结构看师范教育的改革》，《高等师范教育研究》1999年第6期，第12－17页。

[6]吴鲁：《新课程视野下的中学数学教师专业知识结构研究》，湖南师范大学学位论文，2008年，第31－62页。

[7]邵光华：《作为教育任务的数学思想与方法》，上海教育出版社2009年版。

[8]Grouws：《数学教与学研究手册》，上海教育出版社1999年版。

[9]吴永军：《再论新课程教学核心理念及其有效性》，《课程·教材·教法》2005年第1期，第25－29页。

[10]吴鲁：《新课程视野下的中学数学教师专业知识结构研究》，湖南师范大学学位论文，2008年，第56－62页。

[11]姜勇：《论教师的个人知识：教师专业发展的新转向》，《教育理论与实践》2004年第6期，第56－60页。

[12]顾兴义、陈运森：《教师的知识结构》，广东教育出版社1993年版，第63页。

[13]阳利平：《教育变革中的语文教师专业素质研究》，华东师范大学博士学位论文，2008年。

[14]王荣生：《“语文知识”是个什么样的问题？怎样讨论？》，《语文教学通迅》（初中刊）2005年第4期。

[15]丰子恺：《叶圣陶文集》，吉林文史出版社2002年版。

[16]教育部颁发：《全日制普通高中教育语文课程标准（实验稿）》，人民教育出版社2003年版，第1页。

[17]中华人民共和国教育部制订：《普通高中语文课程标准（实验稿）》，人民教育出版社2003年版。

[18]钟启泉：《教师“专业化”：理念、制度、课题》，《教育研究》2001年第12期。

[19]程少堂：《教学风格论》，《教育科学》1998年第2期。

[20]顾明远：《教育大辞典》（增订合编本·上），上海教育出版社1998年版，第716页。

[21]马克斯·范梅南：《教学机智——教育智慧的意蕴》，李树英译，教育科学出版社2001年版，第197－209页。

[22]盛迪韵：《中学英语职前教师专业知识建构研究》，上海师范大学博士学位论文，2009年。

[23]李宇哲：《新课程背景下高中数学教师专业知识需求的调查与分析》，东北师范大学学位论文，2008年。

[24]邵光华：《高考视阈中的高中新课改》，《教育发展研究》2010年第6期。

[25]钱铭、钱先军：《提升教学智慧　打造有效课堂》，《中学数学教与学》2009年第5期，第30－33页。

[26]邵光华：《数学归纳法教学的专业知识基础分析》，《中国数学教育》2010年第1－2期。

[27]邵光华：《作为教育任务的数学思想与方法》，上海教育出版社2009年版。

[28]张奠宙：《数学教育研究导引》，江苏教育出版社1994年版。

[29]华罗庚：《数学归纳法》，科学出版社2002年版。

[30]邵光华：《教师专业知识的拥有和应用差异比较》，《中小学数学》2009年第10期。