让课堂“动”起来

让课堂“动”起来——一堂《抛物线》习题课的教学案例

大埔县虎山中学　江中伟

新课程理念倡导,在数学教与学的过程中,师生应该表现为一种探索和交流的过程,在探索和交流的过程中形成自己对数学知识(方法)的理解和掌握,从而获得数学知识和方法,提高自己的数学修养。

教学活动的本质是以学生为核心的特殊学习活动,教师工作的着力点是组织好这一特殊的学习活动。作为实施新一轮课程改革主阵地的课堂教学应该采用什么样的方法和策略,是每一位教师必须认真研究的一个问题。本文通过下面案例的陈述,提出自己的一些尝试与见解。

一、问题提出

不久前,笔者上了一堂抛物线习题课,在教学前的备课中选择了几道例题,目的是通过这几道例题复习抛物线的性质,其中有一道是2000年全国高考试题第11题。

例1　过抛物线y=ax²(a＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF和QF的长分别为p、q,则等于(　　)。

二、课堂实录

师:同学们,这是一道有关抛物线焦点弦问题,我们应该如何合理、有效地利用题设条件呢？

(同学们都认真思考并动手运算,此时有一位学生举手示意了,我请他把自己的想法与大家分享。)

生1:抛物线的方程,不妨假设PQ⊥y轴,则,选(C)。

师:回答得很好。由于本题是一道选择题,故可借助于特殊情形来求得。若把题目改成填空题会怎样？

(一)变式探究,共同探索

例2　过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF和QF的长分别为m、n,则_____.

师:虽然与例1类似,但它是填空题,如何求解呢？

生2:令PQ的斜率为1,其方程为,代入y²=2px　解得。利用直角三角形,算得。于是仍有。

师:好的,在表扬生2后,笔者又问其他同学有无别的办法？

(话刚落音,生3迫不及待地站起来)

生3:由生1的解法得到启发,可令PQ⊥x轴,得,故m=p,n=p,因此。

师:笔者表扬了生3后,趁热打铁地说,若把例2改为解答题呢？

(二)分析讨论,步步深入

例3　过抛物线y²=2px(p＞0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF和QF的长分别为m、n,求的值。

生4:利用焦半径公式结合韦达定理来求解。

当PQ⊥x轴时,上面生2已证。

当PQ不垂直x轴时,设PQ的方程为,代入y²=2px得k²x²-(pk²+2p)。设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则,

(生4刚坐下,又有一位同学站了起来。)

生5:我想到了一个平面几何的证法。如图1,过P、Q分别作准线的垂线,垂足为P₁、Q₁,不妨设m＞n,过Q、F分别作PP₁的垂线,垂足为R、T,则△QRP∽△FTP。

∴,即,

图1

则2mn=p(m+n),故。

师:生5抓住图形的特征,提供了一个简洁的证法,启示我们学习解析几何不可忘记平面几何。

这种解法有点出乎我的预料,没有扎实的基本功和灵活的思维,是不容易想到的。至此,我选此例题的目的已经达到,正准备进入下一例题,突然发现下面还有学生在举手,我问她还有什么新的想法？

生6:我想把它推广到椭圆和双曲线中去!

师:好!你的想法很大胆,有新意(其实我心里没底,备课时没有往那边想)。

例4　试把例3推广到椭圆中,并证明你的结论。

(三)推广引申,得出结论

生6:对于椭圆的情形,题目为:过椭圆的右焦点F作一直线交椭圆于P、Q两点,若线段PF和QF的长分别为m、n,求的值。

我想在抛物线中和p有关,在椭圆中p表示右焦点到相应准线的距离,。而抛物线离心率e=1,椭圆的离心率0＜e＜1,故不光涉及p,还应涉及离心率。

生7:可先按特殊情形探索答案,当PQ⊥x轴时,,故。

师:请同学们论证生7的结论是否正确。

(过了一会儿一位同学站起来了)

生8:不妨设m＞n,过P,Q分别作右准线的垂线,垂足为P₁,Q₁,过Q,F分别作PP₁的垂线,垂足为R,T。(如图2)

∵△QRP∽△FTP,

又QP=m+n,FP=m,

图2

师:至此,我们说,在双曲线中能否也有此结论(其实另外几个学生已经也得到了双曲线中的结论,只是由于时间关系,没有叫他们说出完整的过程)。课后请同学们自己证明。若有,同学们还有什么新想法呢？

生9:我们可以将抛物线、椭圆、双曲线中的结论统一成,即过圆锥曲线的一个焦点F的直线交圆锥曲线于P,Q两点,若线段PF和QF的长分别为m,n,则(p为焦点F到相应准线的距离)。

师:同学们做得很好。这节课我们由一道例题出发,经过分析,探索得出了一系列结论。同学们,我为你们今天的表现感到骄傲和自豪,你们真的很了不起!

三、反思与感悟

虽然本节课只讲了一道例题,从自己的教学设计来看,并没有很好完成,但从教学效果来看比讲更多例题的效果还要好很多。

(一)课堂教学要顺其自然

叶澜教授曾说:“课堂应是向未知方向挺进的旅程,随时都有可能发现意外的通道和美丽的图景,而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程。”“一节课不应该完全是设计好的,在教师与学生、学生与学生的合作、对话、碰撞中,难免会出现一些超出教师预设方案之外的新问题、新情况。”教师如果能顺其自然,让学生发表自己的意见,那么课堂会更和谐,学生的参与热情也会更高。

(二)教师是课堂教学的组织者和引导者

在课堂教学中,学生在教师的引导下,独立思考,主动探究,教师注意了解学生的研究发展过程,根据反馈的信息及时进行导向性启发,予以适时适度点拨,层层深入,使“启发——探究”贯穿于解决问题的始终,使学生的思维始终处于活跃的状态,使课堂充满探索和交流的气氛。

(三)学生是课堂教学的主角

新课程倡导教师积极转变教学方式,把主动权还给学生,多给学生思考和讨论的空间,多给学生呈现自己想法和观点的机会,这样有利于充分调动学生的学习积极性、主动性,有利于增强学生的自信心；又让学生在互相学习的过程中,体会到成功的喜悦；既培养了学生的研究能力,又挖掘了学生的学习潜力。给学生一个宽广的舞台吧,让他们担当课堂的主角,让他们的思维激情燃烧。