数学模型的建构，学生的必修课

时间：2023-08-26 百科知识版权反馈

【摘要】：结果,鄱阳湖鱼的数量与十几年前相比已经到了灭绝的边缘,当地的渔民生计也受到威胁。双方各执一词,争执不下。而且捕获量比在时要大。当种群数量大于时,种群增长的速度将开始下降。)当过度猎取导致种群数量小于时,种群的增长速度将减慢,获取的资源数量将减少,而且会影响资源的再生。

捕鱼时机——的争论和启示

惠州市教育局教研室　林本红

“生本教育”就是要把课堂还给学生,把学习的主动权还给学生,把提出问题、解决问题的主动权还给学生。教育之所以成为一种“艺术”,是因为它所面对的是活生生的、有个性差异的个体。在课堂教学中,教师会遇到许多出其不意的问题,即使备课备得如何周详,但对学生提出的问题有时还是会“防不胜防”。如何处理课堂上生成的问题,既体现了一个教师的机智,更体现了他的专业素养。

记得我听过一位年轻教师讲授的高中生物“种群数量的变化”一课,他提到了数学模型的构建,在讲到“建构种群增长模型的方法”时,无论是教学方法还是课堂气氛,都非常理想。这位教师的教学过程是这样的:

先用多媒体出示某地当人躺在铺满水葫芦的湖面上时,可以不下沉；上海去年3万吨的水葫芦打捞量,今年已翻了三倍有余,上升至10万吨；现在,黔金丝猴的数量只有500～600只,处于濒危状态,只在贵州省的梵净山区生存；我国人口出生率和自然增长率分别由1970年的3.343%和2.583%,下降到2002年的1.286%和0.65%。(简评:有图片,有数据,一下子吸引住了学生。)

然后教师引入主题:种群数量的变化,并说明为什么要用细菌作为模型生物来探讨种群的数量变化。

老师提问:细菌的繁殖是分裂生殖。若细菌每20分钟就繁殖一代,n代后细菌的数量是多少？学生讨论完成下列表格。(简评:体现新课程理念,分组讨论,把学习的主动权还给学生,学生也很快完成了下列表格。因为此表课本上有,因此,此处到底有无讨论的必要？或者上新课前到底要不要求学生预习？如学生预习了,他就已经知道了问题的答案,那么还有探究、讨论的必要吗？若一定要讨论,也应该把问题变一变,使问题有一定的深度,但又在学生的能力发展区内,这样的问题才能吸引学生,也才能锻炼学生的思维。这节课后面就有一个这样极好的机会。)

表格完成后,先讨论1个细菌的数量变化。学生很快给出数学公式:N=2ⁿ。

同时,根据表格中得到的数据,以时间为横轴,以数量为纵轴,画出细菌种群数量增长的曲线图。

进一步讨论:能不能根据细菌增长的方程式,推导成一个反映一般的种群和细菌种群增长类似的种群增长的方程式？(简评:这个问题的提出顺理成章,比前面讨论1个细菌的增长方程式要复杂一些,但在前面讨论的基础上,再加上学生已有这方面的数学基础,应该是可以完成的。)

教师:N_t表示t代后该种群的数量。种群的起始数量是N₀,t表示为时间(代数),种群每繁殖一代增长λ倍。

学生讨论完成,并展示成果:N_t=N₀λ^t

接着,教师列举实例,对此数学模型进行检验,并指出如果实验得到的方程式和曲线符合假设,那么我们的假设就成立。如果不符合,那么我们的假设就有问题,需要重新假设。

最后总结出种群增长数学模型的建构过程。

到此为止,关于数学模型的建构,学生应该有了一个大致的了解,至少对教科书中关于这方面的知识已有所了解。教师的表现也可圈可点,尤其是对一位刚毕业的年轻教师来说,在这节课中没有“满堂灌”,实属难得。他在这节课里面体现了一定的新课程理念,把教学内容转化为一系列的问题,并且大部分的问题设置能激发学生的兴趣,面向全体学生,同时问题的难度适宜,提问的时机也把握得比较适当,因此,学生的参与度较高,课堂气氛活跃。如果本节课就此结束,应该是一节比较成功的课例。至于学生是不是真的就掌握了这方面的知识,马上见晓。

在讲授完“J”型曲线、“S”型曲线后,话题转到了环境容纳量(也就是K值),讲到了海洋捕捞的问题。

教师:据媒体报道,鄱阳湖的渔业资源近年来遭到了严重的破坏,当地的一些不法之徒使用法律禁止的渔网和捕捞方式进行捕鱼,有的甚至使用炸药炸鱼、电网电鱼。结果,鄱阳湖鱼的数量与十几年前相比已经到了灭绝的边缘,当地的渔民生计也受到威胁。那么,我们能不能捕捞鄱阳湖的鱼呢？(学生简单讨论。)如果需要捕捞,究竟怎样才能把握好捕捞的“度”呢？

教师要求同学们仔细分析“S”型曲线,思考在哪个位点种群的增长速率最快。很快,有同学回答是在曲线最“陡”的时候,亦即时。这时老师再提问:“那么,应该何时进行捕鱼？”在老师如此明确的提示下,有的同学说是在K的时候,因为这时候鱼的数量最多,肯定可以捕捞到更多的鱼；也有的说是在的时候,因为此时鱼类种群增长速度最快。双方各执一词,争执不下。这时教师总结:“在考虑可持续发展的情况下,对海洋鱼类资源的合理开发和利用方面,应当在其数量约为时,因为此时种群的增长速率最大。而当种群数量大于时,其增长的速度将开始下降,此外等待捕鱼的时间过长,鱼类消耗的资源也过多,在时间上和资源上不划算；过度捕捞导致种群数量小于时,种群的增长速度也将减慢,获取的资源数量将减少,而且还会影响资源的再生。”

听了老师的这番解释,有的学生“恍然大悟”,但我也可以感受到那些坚持在K时捕鱼的学生依然存有疑虑。可能该教师认为这个问题很简单、很好理解,就没有继续讨论这个问题了,而是继续讲授可持续发展方面的问题,并将时机”引申到害虫的防治上。

这个问题我也以为就这样过去了,但随后发生的一件事重新引起了我对这个问题的思考。那是在一次高三生物模拟考试集体改卷上,有一道试题是考查有关开发、利用野生资源的时机问题。大部分同学也都答了在时。这时就有一个年轻的教师问:“为什么不是在K、K的时候呢？”于是大家就讨论开了,看来真正不明白的不仅是学生,也有我们教师。争论最终谁也没有说服谁,有的教师说,反正所有的资料上都是这样说的,教材上也是这样讲的,肯定不会错。看来很多教师还是唯教材至上,唯资料至上。

我回去后,在互联网上搜索了这个问题,网上也是争论不休,我们看看其中一部分:

网友1:到K值时种内斗争比较剧烈,增长率接近于零或等于零。

事实是这样。但如果通过捕捞使种群数量降到,种群增长率不是又变为最快了吗？而且捕获量比在时要大。(因为在时捕捞,同样也是使种群数量降到,种群增长率不是又变为最快的)。

网友3:如果从经济角度分析,从到K,增长率小,种内斗争逐渐加强,在种内斗争中死亡的个体多,“S”型曲线与“J”型曲线之间的面积增大,这样是对自然资源的浪费。不知这样解释可不可以。请点评。

……

受到高中生物必修2模块中“模拟植物或动物性状分离的杂交实验”的启发,我想:为什么不能设计一个模拟实验来说明这个问题呢？或者能不能就这个问题也建立一个数学模型？于是,我设计了下面的模拟实验来说明这个问题。(可以启发学生自己设计,既可以加深对前面模拟实验的认识,又能开拓学生的思维,实在是极好的培优素材。)

在3个(也可以是5个、7个,这里为了简化问题只设3个)小桶里面各放入100粒黄豆(相当于K),表示海洋(湖泊)中的鱼。3个人每次从桶中取出若干粒黄豆,表示每年捕鱼的数量。捕捞活动有如下规则:

(1)3个桶表示不同的海域(或湖泊),分别为1号、2号、3号。1号每次取25粒黄豆,2号每次取50粒黄豆,3号每次取75粒黄豆。

(2)每年“捕鱼”之后,向桶内补充一定数量的黄豆(表示鱼类的繁殖),桶里剩多少黄豆,就补充多少(假设每条鱼每年繁殖1个后代),但每次补充后黄豆的总数不能超过100(环境最大容量K)。

(3)每人各“捕鱼”6次,计算每人共“捕鱼”的总数和桶内所剩黄豆的数量,两者之和最大的一方获胜。

方案设计完成后,可以要求学生设计表格记录实验结果,然后开始模拟实验。

表1　每次取25粒黄豆(捕捞量为时)

表2　每次取50粒黄豆(捕捞量为时)

表3　每次取75(粒黄豆捕捞量为时)

(续表)

这里需要说明的是,以上终究是模拟实验。现实情况下,从时间效益、经济效益、成本控制等角度考虑,我们不可能每次捕鱼前都要等总鱼量恢复到K值；当海洋的鱼量超过时,人们就可以捕捞,捕捞的量就是最好使剩余的量保持在,这时鱼类增长最快,数量能最快恢复,人们既可以获取最大的经济效益,又能保持海洋鱼类的可持续增长。而那种眼光短浅、只顾眼前利益、采取杀鸡取卵式的捕捞行为,是多么的愚蠢。