【摘要】：函数在一点连续的概念：若或，则称在处连续。第一间断点以外的间断点为第二间断点。由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续。在区间上连续且单调的函数的反函数在对应区间上仍连续。基本初等函数、初等函数在定义区间内是连续的。
(1/4) 函数连续性的概念
（1）函数在一点连续的概念：若
或
，则称
在
处连续。 （2）函数
在区间
上连续的概念：如果
在
内每一点都连续，则称
在
内连续，同时在区间端点
右连续，在区间端点
左连续，则称
在
上连续。
(2/4) 函数的间断点
（1）间断点定义：如果
在点
处不连续，则称
为
的间断点。 （2）间断点分类：设
是
的间断点，分为以下两种情况， （i）若
和
都存在，则称
为第一类间断点。第一间断点分为两类，其一：
时称为可去间断点，其二：
时称为跳跃间断点。 （ii）第一间断点以外的间断点为第二间断点。
(3/4) 初等函数的连续性
（1）在区间上连续的函数的和、差、积、商（分母不为零）都连续。 （2）由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间上连续。 （3）在区间上连续且单调的函数的反函数在对应区间上仍连续。 （4）基本初等函数、初等函数在定义区间内是连续的。
(4/4) 闭区间上连续函数的性质
（1）有界性定理：设
在
上连续，则
在
上必有界。 （2）最值定理：如果
在
上连续，则
在这个区间上一定存在最大值
和最小值
。 （3）介值定理：如果
在
上连续，其最大值和最小值分别为
和
，则对于介于
和
之间的任何实数
，在
上至少存在一点
，使
。 （4）零点存在定理：如果
在
上连续，且
与
异号，则在
内至少存在一点
，使
成立。
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