【摘要】：罗尔定理的证明： 因为在上连续，所以有最大值与最小值，分别用与表示，现分两种情况来讨论： 若，则在上必为常数，从而结论显然成立。由在开区间内可导，在点处可导，故由费马定理推知。拉格朗日中值定理证明： 作辅助函数。显然，，且在上满足罗尔定理的另两个条件。柯西中值定理证明： 因在区间上连续，在内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在，使得，又因，，故，因此。
(1/4) 费马定理
如果
在
处可导且取得极值，则
。
(2/4) 罗尔定理
（1）罗尔定理：如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，且区间端点处的函数值
，则至少存在一点
。 （2）罗尔定理的证明： 因为
在
上连续，所以有最大值与最小值，分别用
与
表示，现分两种情况来讨论： （i）若
，则
在
上必为常数，从而结论显然成立。 （ii）若
， 则因
，使得最大值
与最小值
至少有一个在
内某点
处取得，从而
是
的极值点。由
在开区间
内可导，
在点
处可导，故由费马定理推知
。
(3/4) 拉格朗日中值定理
（1）拉格朗日中值定理：如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，则至少存在一点
。 （2）拉格朗日中值定理证明： 作辅助函数
。显然，
，且
在
上满足罗尔定理的另两个条件。故存在
，使得 
， 所以
成立。 从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当
时的特殊情形。
(4/4) 柯西中值定理
（1）柯西中值定理：如果
，
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，且
，至少存在一点
，使
。 （2）柯西中值定理证明： 因
在区间
上连续，在
内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在
，使得
，又因
，
，故
，因此
。 作辅助函数:
因
与
在
上连续，在
内可导，故
在
上连续，在
内可导，而
，因此作辅助函数满足罗尔定理的条件,所以由罗尔定理可知至少存在一点
，使 
，因
故上式可化为： 
,
定理证毕。
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