【摘要】：拉格朗日中值定理：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则至少存在一点。拉格朗日中值定理证明： 作辅助函数。显然，，且在上满足罗尔定理的另两个条件。从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当时的特殊情形。
(1/2) 拉格朗日中值定理
（1）拉格朗日中值定理：如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，则至少存在一点
。 （2）拉格朗日中值定理证明： 作辅助函数
。显然，
，且
在
上满足罗尔定理的另两个条件。故存在
，使得 
， 所以
成立。 从上面的证明可知道罗尔定理是拉格朗日定理当
时的特殊情形。
(2/2) 柯西中值定理
（1）柯西中值定理：如果
，
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，且
，至少存在一点
，使
。 （2）柯西中值定理证明： 因
在区间
上连续，在
内可导，所以根据拉格朗日中值定理可知存在
，使得
，又因
，
，故
，因此
。 作辅助函数:
因
与
在
上连续，在
内可导，故
在
上连续，在
内可导，而
，因此作辅助函数满足罗尔定理的条件,所以由罗尔定理可知至少存在一点
，使 
，因
故上式可化为： 
,
定理证毕。
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