第节，定积分

(1/6) 定积分的定义

设函数上有界，在中任意插入若干个分点，把区间分成个小区间   ，各个小区间的长度依次为  。在每个小区间[]上任取一点)，作函数值与小区间长度的乘积并作和。记，如果不论对怎样分法，也不论在小区间[]上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分(简称积分)，记作。即 ==。 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。

(2/6) 定积分的几何意义

设在上连续，表示介于曲线、轴、直线及各部分面积的代数和。

(3/6) 可积的必要条件

若函数在上可积，则在上必有界.

(4/6) 可积的充分条件

（1）若函数在上连续，则在上可积. （2）若函数在区间上有界，且只有有限个间断点，则在上可积；或函数在上只有有限个第一类间断点，则在上可积. （3）分段连续函数是可积的. （4）若是上的单调有界函数，则在上可积. 也就是说，单调有界函数，即使有无穷多个间断点，但这些不连续的点若存在一个极限点，则在上可积. （5）初等函数在其定义区间内的任一子区间上都是可积的.

(5/6) 定积分性质及定理

（1）函数和（差）的定积分等于它们的定积分的和（差），即 。 （2）被积函数的常数因子可以提到积分号外面，即(是常数)。 （3）如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两个区间上定积分之和，即设,则。 （4）如果在区间上，，则。 （5）如果在区间上，，则。 （6）如果在上，。 特别的 （7）设与分别是函数上的最大值及最小值，则 。 （8）（定积分中值定理）如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立：。

(6/6) 定积分的计算与技巧

（1）牛顿-莱布尼茨公式： 设在区间上连续，是在区间上的一个原函数，则  此公式被称为牛顿-莱布尼茨公式，它进一步揭示了定积分与原函数之间的联系，它给定积分提供了一个有效而简便的计算方法。 此外牛顿-莱布尼茨公式有如下推广： （i）设在区间上连续，是在区间上的一个原函数，又 ， 都存在，则   （ii）设在区间上连续，在中除去连续，存在，且，，，则   （2）换元积分法： 设函数在区间上连续；函数在区间上是单值的且有连续导数；当t在区间上变化时，的值在上变化，且；则有定积分的换元公式:  （3） 分部积分法 依据不定积分的分部积分，可以推算出 ， ，