第节，高阶线性微分方程

(1/13) 二阶线性微分方程的定义

二阶线性微分方程的一般形式为  其中都是一次的，否则称为二阶非线性方程，其中均为连续函数。当右端，方程叫做齐次的；当右端不恒等于0，方程叫做非齐次的。

(2/13) 函数的线性相关与线性独立的定义

设是定义在区间的两个函数，如果（常数），那么称此两函数在区间线性相关，否则，称此两函数线性独立或线性无关。

(3/13) 线性微分方程的解的结构

1）齐次线性方程解的结构 先讨论二阶线性齐次方程  定理：如果函数均是方程的解，那么也是该方程的解，其中为任意常数。 定理：如果函数是二阶齐次线性方程的任意两个线性无关的特解，那么就是该方程的通解，其中为任意常数。 推论：如果是阶齐次线性方程   的个线性无关的解，那么，此方程的通解为  其中为任意常数。 （2）非齐次线性方程解的结构 二阶非齐次线性方程的形式为： 定理：设是二阶非齐次线性方程的任一特解，是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那么就是方程的通解。 定理：设有非齐次线性方程.如果分别是方程与方程的解，那么就是原方程的解。

(4/13) 常系数线性齐次方程

（1）二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为  (ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为  (iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为 （2）阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性方程的一般形式为 ， 其中为常数，相应的特征方程为。特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下： (i)若是个相异实根，则原方程的通解为  (ii)若为特征方程的重实根，则原方程的通解中含有  (iii)若为特征方程的重共轭复根，则原方程的通解中含有 

(5/13) 二阶常系数线性非齐次方程

二阶常系数线性非齐次方程的一般形式为，其中为实常数。由于非齐次线性方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次线性方程的通解之和。根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： (1) ，为次多项式 特解形式分为三种情况： （i）0不是特征根： （ii）0是特征方程的单根： （iii）0是特征方程的重根： (2) ，为次多项式 特解形式分为三种情况： （i）不是特征根： （ii）是特征方程的单根： （iii）是特征方程的重根： (3) , 为次，次多项式 特解形式分为两种情况： （i）不是特征根： （ii）是特征根： 其中次多项式中的。 (4) ,特解：

(6/13) 欧拉方程

形如 的方程（其中为常数），叫做欧拉方程。作代换，即可将原方程化为阶常系数线性微分方程。 特别的，对于二阶欧拉方程  令    即化成了二阶线性常微分方程。

(7/13) 二阶常系数线性齐次方程

二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为  (ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为  (iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为 

(8/13) 二阶线性微分方程的定义

二阶线性微分方程的一般形式为  其中都是一次的，否则称为二阶非线性方程，其中均为连续函数。当右端，方程叫做齐次的；当右端不恒等于0，方程叫做非齐次的。

(9/13) 函数的线性相关与线性独立的定义

设是定义在区间的两个函数，如果（常数），那么称此两函数在区间线性相关，否则，称此两函数线性独立或线性无关。

(10/13) 线性微分方程的解的结构

1）齐次线性方程解的结构 先讨论二阶线性齐次方程  定理：如果函数均是方程的解，那么也是该方程的解，其中为任意常数。 定理：如果函数是二阶齐次线性方程的任意两个线性无关的特解，那么就是该方程的通解，其中为任意常数。 推论：如果是阶齐次线性方程   的个线性无关的解，那么，此方程的通解为  其中为任意常数。 （2）非齐次线性方程解的结构 二阶非齐次线性方程的形式为： 定理：设是二阶非齐次线性方程的任一特解，是与该方程对应的齐次线性方程的通解，那么就是方程的通解。 定理：设有非齐次线性方程.如果分别是方程与方程的解，那么就是原方程的解。

(11/13) 常系数线性齐次方程

（1）二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为  (ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为  (iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为 （2）阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性方程的一般形式为 ， 其中为常数，相应的特征方程为。特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下： (i)若是个相异实根，则原方程的通解为  (ii)若为特征方程的重实根，则原方程的通解中含有  (iii)若为特征方程的重共轭复根，则原方程的通解中含有 

(12/13) 常系数线性齐次方程

（1）二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性方程的一般形式为，其中,为实常数，其特征方程为。 依据判别式的符号，其通解有三种形式： (i)当，特征方程有两个相异的实根，通解的形式为  (ii)当，特征方程有重根，即，通解的形式为  (iii)当，特征方程有共轭复根重根，通解的形式为 （2）阶常系数齐次线性微分方程 阶常系数齐次线性方程的一般形式为 ， 其中为常数，相应的特征方程为。特征根与通解的关系同二阶方程的情形类似，具体结论如下： (i)若是个相异实根，则原方程的通解为  (ii)若为特征方程的重实根，则原方程的通解中含有  (iii)若为特征方程的重共轭复根，则原方程的通解中含有 

(13/13) 二阶常系数线性非齐次方程

二阶齐次线性方程的一般形式为，其中为实常数。由于非齐次线性方程的通解，等于它的任一特解与对应齐次线性方程的通解之和。根据f(x)具有下列特殊情形时，来给出求其特解的公式： (1) ，为n次多项式 特解形式分为三种情况： （i）0不是特征根： （ii）0是特征方程的单根： （iii）0是特征方程的重根： (2) ，为n次多项式 特解形式分为三种情况： （i）不是特征根： （ii）是特征方程的单根： （iii）是特征方程的重根： (3) , 为n次，m次多项式 特解形式分为二种情况： （i）不是特征根：（ii）是特征根： 其中次多项式中。 (4) , 特解： 例5 求下列微分方程 （1） （2） 解：（1） （2）

‍