极限与连续性

(1/3) 多元函数的概念

（1）二元函数定义 设是的一个非空子集，称映射为定义在上的二元函数， 通常记为，其中点集称为该函数的定义域，称为自变量，称为因变量。 （2）二元函数的几何意义 设函数的定义域为，当取遍上的一切点时，对应得到一个空间点集，这个点集称为二元函数的图形,二元函数的图形是一张曲面. （3）一元函数与多元函数的联系与区别 （i）一元函数是二元函数的特殊情形：让一自变量变动，另一自变量固定，或让沿某线变动，二元函数就转化为一元函数。 （ii）一元函数中，自变量代表直线上的点，只有两个变动方向，而二元函数中，自变量代表平面上的点，它有无数个变动方向。 （iii）一元函数,也可以看成二元函数，其定义域是：

(2/3) 二元函数的极限

（1）二元函数极限的定义： （i）与一元函数的极限概念类似,如果在的过程中,对应的函数值无限接近于一个确定的常数A,则称A是函数当时的极限. （ii）设二元函数的定义域为,是的聚点.如果存在常数A, 对于任意给定的正数总存在正数,使得当时,都有成立,则称常数A为函数f(x,y)当时的极限,记为  （2）极限与无穷小的关系：   其中是无穷小量，即 注：求二元函数的极限常用方法，是直接用极限运算法则，或通过适当的放大缩小法，变量替换法转换为求简单的极限或一元函数的极限。 （3）二元函数与一元函数之极限存在性的区别 与一元函数极限中的“函数在一点处的极限存在当且仅当它在该点处的左、右极限存在且相等”这个理论对应，在二元函数的极限中，极限存在的充要条件是当点在定义域内沿任何路径以任何方式趋近于时，均有存在，且等于A。 注：若在定义域内沿某两条不同路径（如，），极限的值不相等或某一路径极限不存在，则可断言极限不存在。这是证明二元函数极限不存在的有效方法。

(3/3) 二元函数的连续性

（1）定义： 如果, 则称函数在点连续. 如果函数f(x,y)在的每一点都连续，那么就称函数f(x,y)在上连续. （2）二元函数在其定义域上连续 由自变量的初等函数及其自变量的初等函数经过有限次四则或复合而得的二元函数称为二元初等函数。多元初等函数在其定义区间内是连续的。 （3）二元连续函数的性质 （i）在有界闭区域上的二元连续函数,必定在上有界，且能取得它的最大值和最小值. （ii）在有界闭区域上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.

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