第节，多元函数的求导法则

(1/3) 多元复合函数的求导法则

（1）多元函数与一元函数的复合 如果函数及都在点可导,函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点可导,且有. （2）复合函数的中间变量均为多元函数的情形 如果函数都在点具有对及的偏导数，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有 , . 推广:设则 , . 注：设，我们常用表示对第一个变量u的偏导数，类似的有，，，，等等。 （3）复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形 如果函数在点具有对及对的偏导数，函数在点可导，函数在对应点具有连续偏导数，则复合函数在点的两个偏导数存在，且有，。

(2/3) 全微分的形式不变性

设具有连续偏导数,则有全微分. 如果具有连续偏导数,而也具有连续偏导数,则  = = =. 由此可见,无论是自变量或中间变量的函数,函数它的全微分形式是一样的.这个性质叫做全微分形式不变性. 注：在求多元隐函数的偏导数或全微分时，一阶全微分形式不变性是重要工具。

(3/3) 隐函数的求导法则

（1）由方程式确定的隐函数的求导法 (i)由一个方程式确定的一元隐函数求导法 设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，，则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数,它满足条件，并有. 求导公式证明:将代入,得恒等式F(x,f(x))=0, 等式两边对x求导得, 由于连续,且，所以存在的一个邻域,在这个邻域内,于是得， （ii）由一个方程式确定的二元隐函数求导法 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,且,则方程在点的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件，并有 ,. 注：公式的证明:将代入,得, 将上式两端分别对和求导,得,. 因为连续且，所以存在点的一个邻域,使于是得, （2）由方程组确定的隐函数的求导法 （i）由方程组确定的一元隐函数求导法 设有3个变量2个方程构成的方程组其中有连续偏导数，若在区间上存在函数组满足该方程组，则说该方程组确定了隐函数。若它们可导并求与，则由两边分别对求导，应用复合函数求导法则可得 这可看成是以、为未知量的二元一次方程组，可利用克莱姆法则求出与。 （ii）由方程组确定的二元隐函数求导法 设有4个变量2个方程构成的方程组确定隐函数其中有连续偏导数，则 偏导数,由方程组确定; 偏导数,由方程组确定.