第节，多元函数的最大值和最小值

(1/2) 无条件极值问题

（1）无条件极值问题 对于函数的自变量除了限制在定义域内之外，并无其他条件限制，这类极值问题称为无条件极值问题。 （2）求二元函数的最大值最小值 如果在有界闭区域上连续,则在上必定能取得最大值和最小值(最值或在得点处达到，或在偏导数不存在的点处达到，或在的边界点上达到)。 求连续函数在有界区域上的最值的一般步骤是： （i） 第一步：求出函数在内可能取得极值点（驻点和一阶偏导数不存在的点）的函数值。 （ii）第二步：求出函数在的边界上的最大、最小值。 （iii）第三步：将函数在内的所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值. 注： 在实际问题中,如果知道函数的最大值(最小值)一定在的内部取得,而函数在内只有一个驻点,那么该驻点处的函数值就是函数在上的最大值(最小值).

(2/2) 条件极值问题

（1）条件极值问题提法 对于函数的自变量除了限制在定义域内之外，还有附加的条件，这类极值问题称为条件极值问题。 （2）求二元函数或者三元函数条件极值问题下的最大值最小值 （i）方法一：化为无条件极值，若在条件中可以解出或，把它带入到，则可化为相应一元函数的最值问题。 （ii）方法二：利用拉格朗日乘数法 1）求函数在条件下的极值 首先构造辅助函数（称为拉格朗日函数），然后求解方程组所有满足此方程组的解是f(x,y)在条件下可能极值点，最后比较这些可能的极值点（若曲线含端点，还需考察其端点）的函数值得出最大值点或最小值点。 [例题] 求函数在附加条件 下的极值 解： 作拉格朗日函数 令可化为 然后将所得的三个方程左右两端相加，得，所以。 代入*中，可得，由此可得是函数唯一可能的极值点，极值为。 2）求函数在条件下的最大值和最小值。 拉格朗日乘数法：首先构造辅助函数   然后求解方程组  所有满足此方程组的解即是目标函数在条件下的可能的极值点。最后由可能的极值点中求得最大值或最小值点。