第节，二重积分

(1/6) 二重积分的定义

设为有界闭区域上的有界函数,把区域任意划分成个子域,其中表示第i个小闭区域，也表示它的面积。在每个小闭区域内任取一点，作乘积，并把所有乘积相加,即作出和数不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当各小区域的直径中的最大值时的极限存在,那么称此极限为函数在区域上的二重积分.记作，即 ， 其中与称为积分变量，函数称为被积函数,称为被积表达式,称为积分区域.

(2/6) 二重积分的几何意义

(1) 若在上，则表示以区域为底，以为曲顶的曲顶柱体的体积. (2) 若在上，则上述曲顶柱体在面的下方，二重积分的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积. (3)若在的某些子区域上为正的，在的另一些子区域上为负的，则表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即在平面之上的曲顶柱体体积减去平面之下的曲顶柱体的体积).

(3/6) 二重积分的存在定理

(1)若在有界闭区域上连续，则在上的二重积分必存在。 (2)若有界函数在有界闭区域上除去有限个点或有限个光滑曲线外都连续，则在可积。

(4/6) 二重积分的性质

二重积分有与定积分类似的性质。假设下面各性质中所涉及的函数在区域上都是可积的。 (1)有限可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即   (2)被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即  (3)若可以分为两个区域，它们除边界外无公共点，则  (4)若在积分区域上有，且用表示区域的面积，则  (5)若在上处处有，则有  特殊的  (6) (估值定理) 若在上处处有，且为区域的面积，则  (7) (二重积分中值定理) 设在有界闭区域上连续，则在上存在一点,使 

(5/6) 二重积分的计算

（1）利用直角坐标计算二重积分： (i)型区域 几何直观表现：用平行于轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个。从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和； 被积区域的集合表示：； 二重积分化为二次积分：  (ii) 型区域 几何直观表现：用平行于轴的直线穿过区域内部，与边界的交点最多两个。从而可以由左右交点位于的曲线确定两个函数和； 被积区域的集合表示：； 二重积分化为二次积分： . （2）利用极坐标计算二重积分： 从极点O出发引射线穿过区域内部，与边界的交点最多两个．从而可以由下面和上面交点位于的曲线确定两个函数和（具体如圆域，扇形域和环域等）； (i)极点O在的外部的情况 区域可表示为，则积分公式如下:     (ii)极点O在的内部情况 区域的边界方程为，则积分公式如下:     (iii) 极点O在的边界上的情况 边界方程为，则积分公式如下:    

(6/6) 二重积分的计算技巧

(1)分块积分 在积分计算中，如果的形状不能简单地用类似型区域或型区域来表示，则可将分成若干块，并由积分性质  对右端各式进行计算。 （2）交换积分次序 交换积分次序不仅要考虑到区域的形状，还要考虑被积函数的特点（若为型,先对积分）。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序可能会使新的积分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。具体步骤如下： （i）确定的边界曲线，画出的草图； （ii）求出边界曲线的交点坐标； （iii）将的边界曲线表示为或的单值函数； （iv）考虑是否要将分成几块； （v）用的不等式表示. （3）利用对称性公式简化计算 设在区域上连续，则 （i）当区域关于轴对称，则  其中为在轴上方部分。 （ii）当区域关于轴对称   其中为在轴右侧部分。 （4）轮换对称性 设D关于直线对称，则。