第节，行列式的概念及性质

(1/4) 排列与逆序

（1）排列与n阶排列 所谓排列是指由n个数所构成的一个有序数组，通常用表示n阶排列，显然有 个不同的n阶排列。 （2）逆序与逆序数 在一个排列中，若较大的数在较小的数前面，这两个数就构成一个逆序。所有逆序数的总和称为这个排列的逆序数，记做。 （3）奇排列与偶排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列。 （4）逆序数的计算方法 以 3 2 4 1 5为例，从第一个数依次查起，分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. （5）对换 将一个排列中的某两个数的位置互换而其余的数不动，这一变换即为一次对换。 （6）排列的性质 （i）对排列进行一次对换将改变其奇偶性. （ii）在全体n阶排列(n>1)中，奇排列和偶排列各占一半，各有个。 （iii）任意一个n阶排列都可以经过一系列对换互换得到，并且所作的对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。

(2/4) n阶行列式

n阶行列式 

 是所有取各自不同行不同列的n个元素的乘积  的代数和，其中是的一个排列。当是偶排列时，上式带有正号；当是奇排列时，上式带有负号，也就是可写成  上式称为n阶行列式的完全展开式，这里表示对所有 级排列求和。行列式 通常可简记为或。 例题：设，则中，的系数是__ 根据行列式的定义，不同同行不同列的4个元素的乘积为当且仅当时成立，而该项在行下标顺排时，列的下标的逆序数为，则该项为  故的系数为-2。

(3/4) 行列式的性质

（1）行列式与它的转置行列式相等，即 。 证明 ： 记，则其转置行列式为 因为中元素位于的第行第列，所以   （2）任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号。 注：行列式中有两行（或两列）元素对应相同，则此行列式为零 （3）行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式。 即   注：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以得到行列式几号的外面。 （4）行列式中如果两行（列）元素成比例，则此行列式等于零。 （5）行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 即 

‍ （6）把行列式的‍某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。 即  

(4/4) 2017线性代数基础课程导学

主讲老师：姜晓千 中国人民大学金融数学博士，多年考研辅导经验，对历年真题有着极其深入地研究，授课风格高屋建瓴、激情洋溢、亲和幽默，深受广大考生喜爱。