第节，向量组的线性相关与线性无关

(1/3) 向量组的线性相关

（1）线性相关定义： 对于m维向量组A ：，若存在不全为零的数，使得，则称向量组A线性相关. （2）线性相关性的判定 向量组线性相关 （i）齐次方程组*有非零解。 证明：记 ,*式等价于：  （**） 因而有，向量组A ：线性相关的充要条件是齐次线性方程（**）有非零解。 （ii）向量组的秩（向量组的个数） （iii）存在某（i=1,2，...,s）可由其余个向量线性表出。 证明：充分性：设向量组A ：线性相关，则存在不全为零的数，使得，不妨设，有  即可由、、… 、线性表示。 必要性：已知向量组A中至少有一个向量可由其余m -1个向量线性表示，不妨设可由线性表示。即存在使得 ，从而有，即向量组A ：线性相关，这是可认为取。 （3）线性相关的性质 （i）含有零向量的向量组一定线性相关。 （ii）只有一个向量的向量组线性相关的充要条件是这个向量是零向量。 （iii）只有两个向量的向量组线性相关的充要条件是这两个向量的坐标对应成比例。个数多于维数的向量组必线性相关。 （iv）向量组中的部分向量线性相关，则原向量组线性相关；向量组线性无关，则它的部分向量也线性无关。 （v）如果r维向量组线性无关，将此向量组扩展到维后的向量组也线性无关。

(2/3) 向量组的线性无关

（1）线性无关的定义： 对于向量组，如果，必有，则称向量组线性无关。或者说，只要不全为零，必有，则称向量组线性无关。 （2）线性无关的判定： 向量组线性无关 （i） 齐次方程组只有零解。 （ii）向量组的秩（向量组的个数） （iii）每一个向量（i=1,2，...,m）都不能用其余s-1个向量线性表出。 （3）线性无关的性质： （i）若向量组线性无关，则它的任一个部分组必线性无关。 （ii）若向量组线性无关，则它的任一延伸组必线性无关。 （iii）阶梯形向量组一定线性无关。 （iv）两两正交、非零的向量组必线性无关。

(3/3) 线性相关性与线性表出的关系

（1）向量组线性无关，而向量组线性相关，则可由线性表出，且表示法唯一。 （2）若向量组可由向量组线性表出，且，则线性相关。 注：多数向量可由少数向量线性表出，则多数向量线性相关。 （3）若向量组可由向量组线性表出，且线性无关，则。