第节，矩阵的特征值与特征向量

(1/5) 特征值与特征向量的概念

设A是n阶矩阵，如果存在数和n维非零向量x使关系式  成立，那么，这样的数称为方阵A的特征值，非零向量x称为方阵A 的对应于特征值的特征向量。

(2/5) 特征方程与特征多项式的概念

方程组是以为未知数的一元n次方程，称为方阵A的特征方程，n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值．其左端是的n次多项式，记作，称为方阵A的特征多项式。 显然，A的特征值就是特征方程的解．特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算）。

(3/5) 特征值与特征向量的性质及结论

（1）如果都是特征值对应的特征向量，则的线性组合（非0时）仍是属于的特征向量。 （2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当是矩阵A的k重特征值时，矩阵A属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个。即：设是A的特征值，则它的重数。 （3）设n阶矩阵的特征值为，则有： (i)； 即 （ii），即注：这两个公式在相似、证明可逆求行列式的值等方面很适用。 （4）方阵与具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值，但是它们的特征向量可能不相同。 （5）矩阵可逆的充分必要条件是的所有特征值不为零．如果可逆，则的特征值是； 的特征值是。 证明：当A可逆时，由,有，因为，知，故．所以是的特征值。 （6）若是矩阵的特征值，则对任何正整数k，是的特征值 证明： 若是A的特征值，则是的特征值；是的特征值，其中  是的多项式；  是矩阵A的多项式． 当可逆时，  是 的特征值。

(4/5) 特征值和特征向量的一般求法

（1）对于抽象的矩阵，要根据特征值与特征向量的定义与其性质推导出特征值的取值。 （2）对于具体的数字矩阵，应先根据特征方程求出矩阵A的全部特征值，其中可能有重根。然后对每个不同的特征值，分别解齐次方程组。设，如果求出方程组的基础解系（即矩阵A关于特征值的线性无关的特征向量），则矩阵A属于的全部特征向量为，其中是不全为零的任意常数。

(5/5) 题型二 逆的判定与求法2017

方法点拨： （1）逆的判定方法： （I）定义法， （II）可逆的充要条件 n阶方阵A可逆 存在n阶方阵B，有AB=BA=E    其中是初等矩阵  A的列（行）向量组线性无关  齐次方程组Ax=0只有零解 非齐次方程组Ax=b总有唯一解  A的所有特征值全不为0 （2）逆的求法 （I）A为抽象矩阵：由定义或性质求 （II）A为数字矩阵： 【例】设阶矩阵，，满足关系式，则【】 （A）（B）（C）（D） 【答案】D 【例】设为n阶矩阵，且，下列结论中不正确的是【】 （A）可逆（B）可逆（C）可逆（D）可逆 【答案】A 【例】设，为阶矩阵，且，证明. 【例】设为阶方阵且满足条件，求，，. 【答案】 ,  ,  【例】（2015，2，3）设矩阵，， （1）求的值； （2）若矩阵满足，求. 【答案】（I）a=0 (II)