【摘要】：如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则可称A可以相似对角化，记成，是A的相似标准型。或者寻求一个相似变换矩阵P，使得为对角矩阵，称作把方阵A对角化． 注：若，则对角线上的元素是A的全部特征值，P的每一列是对应的特征向量。
(1/4) 矩阵可相似对角化的概念
如果n阶矩阵A与对角矩阵
相似，则可称A可以相似对角化，记成
，
是A的相似标准型。或者寻求一个相似变换矩阵P，使得
为对角矩阵，称作把方阵A对角化． 注：若
，则
对角线上的元素是A的全部特征值，P的每一列是对应的特征向量。
(2/4) 矩阵可相似对角化的充分必要条件
（1）n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量． 推论：如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似． （2）对于矩阵A的每一个
重特征值
，其线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重根数
，亦即
. 注：如果
，且
是
重特征值，则
应有
个线性无关的特征向量，即齐次方程组
的基础解系应含有
个向量，故可以通过秩
来判断A是否能对角化。
(3/4) 矩阵A与对角矩阵相似的充分条件
（1）A有n个不同的特征值。 （2）A是实对称矩阵。
(4/4) 矩阵A相似对角化的解题步骤
（1）先求出A的特征值
，
； （2）再求出所对应的线性无关的特征向量
； （3）构造可逆矩阵
，则
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