第节，二次型及其标准形

(1/3) 二次型及其矩阵表示

（1）二次型的定义： 含有n个变量的二次齐次多项式函数（即每项都是二次的多项式）称为n元二次型。 （2）二次型的矩阵表示 令,A=,则二次型可用矩阵乘法表示为  其中A是n阶实对称矩阵（）,称A为二次型的矩阵，矩阵A的秩r(A)称为二次型f的秩，记作r(f). 注：二次型矩阵是实对称矩阵，且二次型的矩阵是唯一的。

(2/3) 二次型的标准形

（1）二次型标准形的定义 如果二次型矩阵中只含有变量的平方项，所有混合项的系数全是零，即 ，其中为实数，则称这样的二次型为标准形。 （2）二次型的标准形与矩阵特征值的关系 任意的n元二次型都可以通过坐标变换（注意C是可逆矩阵）化成标准形，即 其中。特别的，存在正交变换x=Cy化为标准形，即，， 这里是二次型矩阵的n个特征值。 注：二次型在线性变换x=Cy下有

(3/3) 化二次型为标准形的方法

（1）用正交变换化法化二次型为标准形的步骤为： 第一步：把二次型表示为矩阵形式； 第二步：求A的特征值及其相应的特征向量，（当时，检验所求的是否正交）； 第三步：若特征根有重根，对重根所求的特征向量进行检验，若不正交，则需要利用Schmidt正交化； 第四步：把特征向量单位化； 第五步：构造正交矩阵C= 第六步：令x=Cy，得 [例题] 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换。 解：二次型矩阵是由特征多项式     得到A的特征值是3，-1,0。 对，由(3E-A)x=0,即解得。 类似地，对，；时，，特征根无重根，仅需单位化；    构造正交矩阵， 那么令x=Cy,二次型为所求标准形。 （2）用配方法化二次型为标准形 用配方法化二次型为标准形的步骤为： 第一步：如二次型中至少有一个平方项，不妨设，则对所有含有的项配方，配方后各余项不再含有，继续配方，直到每一项都包含在各完全平方项中，引入新变量，由，得到。 第二步：如二次型中不含平方项，只有混合项，不妨设，则可令  经过此坐标变换，二次型中出现后，再按第一步进行配方。 注：正交变换法化二次型为标准形时，标准形中平方项系数必须是矩阵A的n个特征值，而配方法没有这个属性。