“散步”引发的数学谜题

6　“散步”引发的数学谜题

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排列组合是组合学最基本的概念。所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。柯克曼是英国的数学家，他在1850年提出了数学史上非常著名的组合问题——柯克曼女生问题。柯克曼女生散步问题是世界上最难的数学题之一，许多数学爱好者对它充满了兴趣，这是个什么样的数学问题呢？

在我们的中学阶段，排列组合会出现在我们的课本中，我们对其也有了一定的了解。柯克曼提出的是一个怎样的排列组合呢？

1850年，英国的数学家柯克曼提出这样一个问题：某学生宿舍共有15名女生，每天3人一组进行散步，如何安排才能使每位女生有机会与其他每一位女生在同一组中散步，并恰好每星期一次。

散步的人

柯克曼女生问题提出后得到了许多解答，其中被认为最好的是皮尔斯的解法，他先假定一位女生固定在某一组，再将其他14位女生编上号码（1—14号），并按照一定规律安排星期天的分组散步，则其他6天星期r散步（r=1，2，3，4，5，6）分组可按原编号与r的数字之和安排（和数超过14则减去14）。

知识拓展

社会的发展和技术的先进，使得各种问题解决的方法多样化，更加标准化，同时，使得商品生产工序也更加复杂化，解决一件事常常有多种方法，或是几个过程才能完成。我们学习了排列组合的公式，就可以更加方便地计算。

加法原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m₁ 种不同的方法，在第二类办法中有 m₂种不同的方法……在第n类办法中有m_n种不同的方法。那么完成这件事共有 N=m₁+m₂+…+m_n 种不同的方法。

乘法原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m₁种不同的方法，做第二步有m₂种不同的方法……做第n步有 种m_n不同的方法，那么完成这件事有 N=m₁×m₂×…×m_n 种不同的方法。

两个原理的区别：加法原理是“分类完成”，乘法原理是“分步完成”。

另外，有些数学家将问题扩展成了组合论中的难题：设有N个元素，每3个一组分成若干组。这些组分别组成一个系列，现称为柯克曼序列。若每一元素与其他元素恰有一次同组的机会，N将满足何种条件，才能组成这种序列？

陆家羲

N的一般解答直到20世纪60年代后才有了突破。中国的数学家陆家羲对此做出了重要的贡献，他为今后的组合论奠定了基础，使人们向更深的知识领域探索。

知识解码

业余之成就——陆家羲

陆家羲是我国著名的业余数学研究家，国家自然科学一等奖获得者，长期从事组合数学研究。

1961年，他完成了《柯克曼四元组系列》论文，后来专攻“斯坦纳系列”，创造出了独特的引入素数因子的递推构造方法，完成《不相交的斯坦纳三元系大集》等7篇论文，他解决了国际上组合设计理论研究中多年未解决的难题。同时，他还证明了“斯坦纳系列”和“寇克满系列”中长期没有解决的重要问题。