平面机构的自由度

时间：2023-10-01 百科知识版权反馈

【摘要】：当用运动副将构件连接组成机构之后，机构中各构件具有的自由度随之减少。因此，活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数就是该机构的自由度，用F表示。由式（2-1）可知机构的自由度取决于活动构件数目及运动副的性质和数目。因此，机构的自由度应当与原动件数相等。在计算机构自由度时，应将机构中的局部自由度除去不计。解机构中的滚子有一个局部自由度，顶杆与机架在E和E′组成两个导路平行的移动副。

机构的各构件之间应具有确定的相对运动。不能产生相对运动或做无规则运动的一堆构件是不能成为机构的。为了使组合起来的构件能产生相对运动并具有确定的运动，有必要探讨机构的自由度和机构具有确定运动的条件。

一、平面机构的自由度计算公式

如前所述，一个作平面运动的构件具有三个自由度。但当构件之间通过运动副连接之后，它们的相对运动就会受到限制，自由度数目也随之减少，这种限制作用称为约束。

不同种类的运动副引入的约束不同，所以保留的自由度也不同。低副中的转动副约束了两个移动自由度，只保留一个转动自由度，而移动副约束了沿一轴线方向的移动和在平面内的转动两个自由度，只保留沿另一轴线方向移动的自由度；高副则只约束了沿接触处公法线n—n方向移动的自由度，保留绕接触处的转动和沿接触处公切线t—t方向的移动两个自由度（参见图2-3）。由此可知，在平面机构中：每个低副引入两个约束，使构件失去两个自由度；每个高副引入一个约束，使构件失去一个自由度。

设某平面机构共由N个构件组成。除去固定构件，则机构中的活动构件数为n=N-1。在未用运动副连接之前，这些活动构件的自由度总数为3n。当用运动副将构件连接组成机构之后，机构中各构件具有的自由度随之减少。若机构中低副数为PL个，高副数为PH个，则运动副引入的约束总数为2PL+PH。因此，活动构件的自由度总数减去运动副引入的约束总数就是该机构的自由度，用F表示。即

F=3n-2PL-PH（2-1）

式（2-1）是平面机构自由度的计算公式。由式（2-1）可知机构的自由度取决于活动构件数目及运动副的性质和数目。

二、机构具有确定运动的条件

机构的自由度也就是机构相对机架具有的独立运动的数目。为了使机构具有确定的相对运动，还应使给定的独立运动数目等于机构的自由度。而给定的独立运动规律是由原动件提供的，通常每个原动件具有一个独立运动规律（如电动机转子具有一个独立转动、内燃机活塞具有一个独立移动）。因此，机构的自由度应当与原动件数相等。

例2-2 计算图2-4（b）所示颚式破碎机主体机构的自由度。

解在颚式破碎机主体机构中，活动构件数n=5，低副数PL=7，高副数PH=0。由式（2-1）得

F=3n-2PL-PH=3×5-2×7=1

该机构具有一个原动件（曲柄1），原动件数与机构自由度相等。

机构原动件的独立运动是由外界给定的。如果给出的原动件数w不等于机构自由度F，将会发生下列问题。

图2-5所示为原动件数小于机构自由度时的例子（其中原动件数等于1，机构自由度F=3×4-2×5=2）。当只给定原动件1（画有箭头）的偏置角φ1时，从动件2、3、4的位置不能确定，不具有确定的相对运动。只有给出两个原动件，使构件1、4都处于给定位置，才能使从动件获得确定运动。

图2-6所示为原动件数大于机构自由度的例子（其中原动件数等于2，机构自由度F=3×3-2×4=1）。如果原动件1和原动件3的给定运动同时都满足，则机构中最弱的构件必将损坏。

图2-7所示为机构自由度等于零的构件组合（F=3×4-2×6=0），它是一个桁架。它的各构件之间不可能产生相对运动。

综上所述，机构具有确定运动的条件是：机构自由度F＞0，且F等于原动件数，即

F=w≥1

式中，w——原动件数。

图2-5 原动件数＜F

图2-6 原动件数＞F

图2-7 F=0的构件组合

三、计算平面机构自由度的注意事项

应用式（2-1）计算平面机构的自由度时，须注意以下几种情况，否则得不到正确的结果。

1.复合铰链

两个以上的构件同时在一处用转动副相连接就构成复合铰链。如图2-8（a）所示，构件1、2、3在同一处构成转动副，而从左视图[见图2-8（b）]可知，这三个构件共组成两个转动副。显然，如有m个构件（包括固定构件）汇集构成的复合铰链，应有m-1个转动副。

例2-3 计算图2-9所示线锯机构的自由度。

图2-8 复合铰链

图2-9 线锯机构

解机构中有七个活动构件，n=7；在B、C、D、F四处都是由三个构件组成的复合铰链，各具有两个转动副。所以，n=7，PL=10，PH=0，由式（2-1）得

F=3n-2PL-PH=3×7-2×10=1

机构的自由度与原动件数相等，故该机构具有确定的相对运动。

2.局部自由度

在有些机构中，某些构件产生的局部运动并不影响其他构件的运动，我们把这些构件产生的这种局部运动的自由度称为局部自由度。在计算机构自由度时，应将机构中的局部自由度除去不计。

例2-4 计算图2-10（a）所示滚子从动件凸轮机构的自由度。

解如图2-10（a）所示，当原动件凸轮1转动时，通过滚子2驱使，从动件3以一定运动规律在机架4中往复移动，从动件3是输出构件。可以看出，滚子绕其自身轴线的自由转动不影响输出构件3的运动。因此，滚子绕其中心的转动是一个局部自由度。为了在计算自由度时排除这个局部自由度，可以设想将滚子与从动件焊成一体（转动副C也随之消失），化成如图2-10 （b）所示形式，然后进行计算。此时，n=2，PL=2， PH=1，按式（2-1）可得

F=3n-2PL-PH=3×2-2×2-1=1

如果将局部自由度计算在内，则F=3n-2PL-PH=3×3-2×3-1=2，显然与事实不符，因此，在计算机构自由度时，应将局部自由度去除在外。

局部自由度虽然不影响整个机构的运动，但滚子可使高副接触处的滑动摩擦变为滚动摩擦，减少磨损。

图2-10 局部自由度

3.虚约束

对机构的运动不起限制作用的重复约束称为虚约束，在计算机构自由度时应当除去不计。

例如在图2-11（a）所示的正平行四边形机构中，杆3作平动，其上各点的轨迹均为圆心在线AD上而半径等于AB的圆。若在该机构中再增加一个构件5，使其与构件2、4相互平行，且长度相等，如图2-11（b）所示，则由于杆5上点E的轨迹与杆3上点E的轨迹相互重合，因此，加上杆5并不影响机构的运动，但此时机构的自由度为

F=3n-2PL-PH=3×4-2×6=0

图2-11 运动轨迹重合引起的虚约束

这个结果与实际情况不符，造成这个结果的原因是增加了一个构件5，引入了三个自由度，但同时又增加了两个转动副，形式上引入了四个约束，即多引入了一个约束。而实际上这个约束对机构的运动起着重复的限制作用，因而它是一个虚约束。在计算机构的自由度时，应先将产生虚约束的构件和运动副去掉[见图2-11（a）]，然后再进行计算。即该机构的自由度为

F=3n-2PL-PH=3×3-2×4=1

常见的虚约束有以下几种情况：

（1）如果用转动副连接的两构件运动轨迹重合，则该连接引入的约束为虚约束，如图2-11（b）所示。

（2）机构运动时，如果两构件上两点间的距离始终保持不变，将此两点用构件和运动副连接，则会引入虚约束，如图2-12所示。

（3）两个构件之间组成多个导路平行或重合的移动副时，只有一个移动副起作用，其余都是虚约束，如图2-13所示。

图2-12 两点间距离不变引入的虚约束

图2-13 多个导路平行或重合引入的虚约束

（4）两个构件之间组成多个轴线重合的转动副时，只有一个转动副起作用，其余都是虚约束，如图2-14所示。

（5）机构中对传递运动不起独立作用的对称部分是虚约束。在图2-15所示的差动轮系中，为了受力均衡，采取三个行星轮2、2′和2″对称布置的结构，而事实上只要一个行星轮便能满足运动要求，其余两个行星轮带入的约束为虚约束。

图2-14 轴线重合引入的虚约束

图2-15 差动轮系

虚约束对机构的运动虽不起作用，但可以增加机构的刚度或改善机构的受力状况，因而被广泛采用。但虚约束要求较高的制造精度，如果加工误差太大，不能满足某些特殊几何条件，虚约束便会变成实际约束，阻碍构件运动。