直齿圆柱齿轮传动设计

一、直齿圆柱齿轮传动的受力分析

为了计算齿轮的强度，设计齿轮、轴和轴承，首先应分析轮齿上的受力大小和方向。图8-25所示为一对标准直齿圆柱齿轮啮合时的受力情况，其齿廓在节点接触，轮齿间的相互作用力分别作用在主、被动齿轮上，其大小相等，方向相反。略去轮齿间的摩擦力，该力垂直指向齿廓，这个力称为法向力Fn。

图8-25 直齿轮啮合的受力图

为计算方便，将法向力Fn分解成为相互垂直的两个分力：圆周力Ft和径向力Fr。圆周力Ft方向：在主动轮上与受力点的线速度方向相反，在从动轮上与受力点的线速度方向相同。径向力Fr的方向：不论主、从动齿轮都是由作用点垂直指向各自轮心。力的大小由下列公式计算：

圆周力

径向力 Fr=Fttanα

法向力

式中：T1——小齿轮的理论转矩，N·mm；

d1——小齿轮的分度圆直径，mm；

α——分度圆的压力角，α=20°。

如果已知小齿轮传递的功率P1（kW）及其转速n1（r/min），则小齿轮上的理论转矩为：

上述的作用力计算是在理想的平稳工作条件下求出的，未考虑影响齿轮实际载荷的许多因素，该载荷称为名义载荷。由于原动机及工作机的载荷特性，齿轮精度、圆周速度等引起的附加载荷，齿轮的布置等因素。因此，在齿轮传动的设计计算中需引入载荷系数K，用载荷系数K考虑所有这些因素的影响。因此在齿轮强度计算时，需乘以载荷系数K。

载荷系数K见表8-7：

表8-7 载荷系数K

二、直齿圆柱齿轮传动的强度计算

齿轮传动承载能力的计算方法是依据其失效形式建立的，针对五种失效形式应建立相应的计算准则和计算方法，但目前齿面磨损和塑性变形尚无成熟的理论。因此，对于一般的齿轮传动，通常只考虑其齿面接触疲劳强度和齿根弯曲疲劳强度计算。高速重载的闭式齿轮传动，要进行热平衡计算。在此，只介绍一般齿轮传动承载能力的计算方法。

1.齿面接触疲劳强度计算

轮齿齿面发生疲劳点蚀主要与齿面的接触应力大小有关，接触应力越大，工作时间越长，越容易发生点蚀。渐开线齿轮齿面的接触应力相当于在接触处以两齿廓曲面当量半径确定当量接触应力（见图8-26），因疲劳点蚀常发生在节线附近，取节点处的接触应力为计算依据。

图8-26 轮齿的接触应力

根据弹性力学的赫兹公式，导出一对钢制标准直齿圆柱齿轮在节点处最大接触应力的验算公式：

设b=ψd×d1，可导出设计公式：

式中：K——载荷系数；

T1——作用在小齿轮上的转矩；

d1——小齿轮的分度圆直径；

b——齿轮的宽度，在设计时小齿轮的齿宽值b1比大齿轮的齿宽值b2大5～10mm，因此取b=b2；

i——齿轮传动比，i=z2/z1。

公式使用说明：

（1）齿宽系数ψd，ψd=b/d1，根据使用情况查表8-8。

表8-8 齿宽系数ψd

（2）许用接触应力[σH]

齿轮的许用接触应力[σH]

式中σHlim——接触疲劳极限，由实验获得，按图8-28查取；

SH——接触强度的安全系数，按表8-9选取。

表8-9 安全系数SHmin和SFmin

（3）一对啮合的齿轮齿面接触应力相等，σH1=σH2，但是[σH1]与[σH2]可能不等，因为两齿轮的材料或热处理方法可能不同。因此，在使用式（8-20）进行计算时，应取二者中较小的一个值进行比较。

（4）若一对齿轮的材料组合不是钢对钢，则式（8-20）中常数671应修正为671×ZE/189.8，ZE为材料系数，见表8-10。

（5）式中正号用于外啮合，负号用于内啮合。

表8-10 材料系数ZE

2.弯曲疲劳强度的计算

轮齿的疲劳折断主要与弯曲应力有关，弯曲应力越大，工作时间越长，越容易发生轮齿的疲劳折断。理论和实践表明，疲劳折断一般都发生在齿轮的根部。最危险的截面位置可用30°切线法确定（如图8-27），作与轮齿对称线成30°角并与齿根圆弧相切的两根直线，圆弧上所得两切点的连线所确定的截面为齿根危险截面。同时假设载荷全部作用在一个轮齿的齿顶上，并近似地将轮齿看成宽度为b的悬臂梁。

图8-27 齿轮截面

经推导简化可得：齿根弯曲强度的验算公式

图8-28 齿轮材料的σHlim

（a）铸铁；（b）碳钢；（c）调质；（d）渗碳、淬火；（e）渗氮

引入齿宽系数ψd=b/d1，可导出简化的设计公式

式中：σF——齿根弯曲应力；

m——齿轮模数。

公式使用说明：

（1）齿宽系数ψd，ψd=b/d1，根据使用情况查表8-8；

（2）许用弯曲应力[σF]

齿轮的许用弯曲应力[σF] N/mm2。

式中：σFlim——弯曲疲劳极限，N/mm，由实验获得，按图8-29查取；

SF——弯曲强度的安全系数，按表8-9选取。

图8-29 齿轮材料的σFlim

（a）铸铁；（b）碳钢；（c）调质；（d）渗碳、淬火；（e）渗氮

（3）一对啮合的齿轮齿面弯曲应力不相等，σF1≠σF2，且[σF1]与[σF2]可能不等，因为两齿轮的材料或热处理方法可能不同。因此，在使用验算公式进行计算时，分别验算大小齿轮的弯曲疲劳强度。

（4）复合齿形系数YFS，考虑齿形、齿根应力集中和压应力、切应力对弯曲应力的影响而引入的系数。可查图8-30。

（5）在使用设计公式计算齿轮模数时，应以YFS1/[σF1]和YFS2/[σF2]中的较大值代入公式计算。

图8-30 外齿轮的复合齿形系数YFS

三、圆柱齿轮传动的参数选择和设计步骤

1.设计思路

由于不同场合下齿轮传动的主要失效形式不同，因此其设计思路不完全相同。对于闭式硬齿面的齿轮传动，由于其主要失效形式为疲劳折断，因此应先按齿根弯曲疲劳强度进行设计，然后按齿面接触疲劳强度进行验算；对于闭式软齿面的齿轮传动，由于其主要失效形式为疲劳点蚀，因此应先按齿面接触强度进行设计，然后按齿根弯曲疲劳强度进行验算；对于开式齿轮传动，由于其主要失效形式为齿面磨损，但由于计算磨损没有成熟的公式，因此通常按齿根弯曲疲劳强度进行条件性计算，再将其模数增大10%～20%。

2.主要参数选择

（1）齿数Z1

对于闭式软齿面的齿轮传动，容易产生点蚀，在中心距不变时，增加齿数，能加大重合度，对传动的平稳性有利，推荐z1=20～30；对于闭式硬齿面的齿轮传动和开式齿轮传动，容易出现断齿，应适当减少齿数，以增大模数，增大齿根厚度，但标准齿轮的齿数不得小于17。

（2）模数m

模数m为标准值，因此通过设计公式得到的模数m应圆整成标准值。对于传递动力的齿轮，应保证模数m≥2mm，以防止意外断齿。

（3）齿宽b和齿宽系数ψd

增大齿宽能减小齿轮径向尺寸，可降低齿轮的圆周速度，且可使齿轮传动结构紧凑。但宽度过大，载荷沿齿宽分布愈不均匀，载荷集中越严重。因此必须考虑各方面的影响因素，合理地选择齿宽系数。

为方便安装，小齿轮齿宽b1应比大齿轮齿宽b2大5～10mm。

（4）传动比i

传动比不宜过大，否则将导致结构尺寸庞大，并加大两齿轮的强度差。一般直齿圆柱齿轮传动i≤5；斜齿圆柱齿轮传动i≤8。当i＞8时，可采用多级传动。

3.设计步骤

（1）根据齿轮传动的使用场合和经济性原则，选择齿轮材料、热处理方法，齿轮传动的精度等级。

（2）按齿轮设计思路，用齿面接触疲劳强度或齿根弯曲疲劳强度的设计公式，确定出小齿轮的分度圆直径d1或齿轮的模数m。必要时，按齿根弯曲疲劳强度或齿面接触疲劳强度的验算公式进行校核。

（3）选择小齿轮的齿数z1，通过传动比计算出大齿轮的齿数z2，尽可能使大、小齿轮的齿数互为质数，以保证各轮齿的均匀磨损。

（4）计算齿轮的几何尺寸。

（5）根据齿轮的尺寸大小，确定齿轮的结构。

（6）绘制齿轮工作图。

4.应用举例

例8-1 设计一运输机中二级减速器的高速级圆柱齿轮传动。已知原动机为电动机， n1=1440r/min，功率P=7.5kW，传动比i=5.3，两班工作制，每班工作8小时，工作期限8年，载荷平稳，单方向传动。

解 （1）选择齿轮材料和热处理方法。要设计的齿轮传动无特殊要求，故考虑用闭式软齿面齿轮。小齿轮选用45钢，调质处理，硬度为255HBS，大齿轮材料为45钢，正火处理，硬度为220HBS。[σH1]=610MPa，[σH2]=490MPa；，[σF1]=470MPa，[σF2]=345MPa。

（2）选择精度等级。运输机为一般机械，速度较低，因此选择8级精度。

（3）强度计算。由于是闭式软齿面齿轮，因此按齿面接触疲劳强度的设计公式计算。

（4）选择小齿轮的齿数z1。取z1=23，z2=z1×i=23×5.3=121.9，取z2=123。

确定模数 m==2.22，取m=2.5mm（按表8-2圆整）

中心矩 a==182.5（mm）

主要尺寸 分度圆直径d1=mz1=2.5×23=57.5（mm） d2=mz2=2.5×123=307.5（mm）

齿轮宽度b2=ψd×d1=1×57.5=57.5（mm），取b2=58（mm），

b1=b2+（5～10）mm=65mm

（5）验算齿根的弯曲疲劳强度。

按图查得复合齿形系数YFS1=4.18，YFS2=3.98

σF1==74.8（MPa）≤[σF1]

σF2=σF1 =71.2（MPa）≤[σF2]强度符合要求。

（6）结构设计（略）