频率较低时，管道内的声波以平面波的形式传播。随着频率的升高，高阶模态将被激发，管内将会出现高维声波。
而对于圆形管道来说，由于其是轴对称结构，如图2-3所示，在柱坐标系下，管内声波与沿管周向无关，所以圆形管道的声波只需考虑沿轴向和管径向的传播。柱坐标系下的La-place算子为［12］
图2-3 圆形导管坐标系统
可以使用分离变量法求出声压的解析表达式，假设
p（r，θ，z）=R（r）Θ（θ）Z（z）（2-36）
将式（2-36）代入到式（2-35），得到
于是可以得到如下三个独立方程
式中，径向波数kr和轴向波数kz满足约束关系
k2r=k2—k2z（241）
式（2-38）和式（2-39）的通解可以表示成如下复指数形式
Θ（θ）=C3e—jmθ+C4ejmθ（242）
Z（z）=C5e—jk z z+C6ejk z z（243）
式（2-40）为贝塞尔方程，其通解为
Rm（r）=C1Jm（krr）+C2Ym（krr）（244）
式中，Jm（krr）和Ym（krr）分别是第一类和第二类m阶贝塞尔函数。在r=0处（即轴线上）， Ym（krr）趋于无限大。由于管道内各处的声压都是有限的，因此常数C2必须为0。由于刚性壁面上的径向质点振速为0，可以得到
式中，a为管道的半径。将式（2-44）代入式（2-45）得到
J′m（kra）=0（246）
对于给定的m，有无限多个kr值满足式（2-46），将kr的第n个根即为kr，m，n。管道内的声压为各个模态声压分量的叠加，于是得到声压的解析表达式为
进而质点振速可以表示为
式中，（m，n）模态的轴向波数kz，m，n由下式确定
本征函数有两个
ψ1m，n（r，θ）=Jm（kr，m，n）cos（mθ）（250）
ψ2m，n（r，θ）=Jm（kr，m，n）sin（mθ）（251）
对于进出口边界条件均具有轴对称性的圆形管道来说，其周向模态不会被激发，声压和质点振速与周向角度无关，于是，声压和质点振速表达式可以简化为
本征函数也可以简化为
ψ0，n（r）=J0（kr，0，nr）（2-54）
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