两样本假设检验

在实际工作中，经常要比较两个总体之间是否存在较大差异，两样本假设检验就是根据两个来自不同总体的样本数据，对两个独立总体的均值是否有显著差异进行推断。两个总体均值之差的三种基本假设检验形式如下：

双侧检验H0：μ1－μ2＝0，H1：μ1－μ2≠0；

左侧检验H0：μ1－μ2≥0，H1：μ1－μ2＜0；

右侧检验H0：μ1－μ2≤0，H1：μ1－μ2＞0。

在Excel中，可用于两样本假设检验的数据分析工具有四种：【z－检验：双样本平均差检验】、【t－检验：双样本等方差假设】、【t－检验：双样本异方差假设】、【t－检验：平均值的成对二样本分析】。

【z－检验：双样本平均差检验】、【t－检验：双样本异方差假设】、【t－检验：双样本等方差假设】这三种分析工具用于两个独立样本的假设检验。

两个独立样本假设检验的前提要求：一是两组样本应是相互独立的，即从一个总体中抽取样本对从另一个总体中抽取样本没有任何影响，两组样本的样本单位数目可以不同，样本单位顺序可以随意调整；二是样本的总体应服从正态分布。下面针对【z－检验：双样本平均差检验】、【t－检验：双样本等方差】、【t－检验：双样本异方差检验】检验分别进行说明。

5.2.4.1 【z－检验：双样本平均差检验】

【z－检验：双样本平均差检验】适用于独立样本，样本来源于正态总体，且方差已知这种情况。以例5.7为例，说明操作步骤及运算结果。

例5.7 某企业生产飞龙牌和喜达牌两种保温容器，根据过去的资料，知其保温时间的方差分别为1.08h和5.62h。现各抽取5只作为样本，测得其保温时间（h）如下：

飞龙牌 　 49.2 48.8 46.8 47.1 48.5

喜达牌 　 46.8 44.2 49.6 45.1 43.8

要求对两种保温容器的总体保温时间有无显著差异进行检验。

（1）打开或建立数据文件

按图5－12所示，在A1：B6输入数据。

（2）调用【z－检验：双样本平均差检验】对话框

鼠标单击【数据（T）】→【分析】中的【数据分析（D）】，在弹出的【数据分析】对话框中，选择【z－检验：双样本平均差检验】，然后单击【确定】按钮，则显示【z－检验：双样本平均差检验】对话框，如图5－11所示。

图5－11 z－检验

（3）输入【z－检验：双样本平均差检验】对话框参数

在【z－检验：双样本平均差检验】对话框中，单击【变量1的区域（1）】右侧文本框，将光标置于其中，然后选择A1：A6单元格区域；再单击【变量2的区域（2）】右侧文本框，将光标置于其中，然后鼠标选择B1：B6单元格区域。

【假设平均差（P）】即假设检验中原假设H0，本例中，原假设双侧检验H0：μ1－μ2＝0，备择假设H1：μ1－μ2≠0，平均数相差为0。如果为单侧检验，则填写原假设中的两个总体平均数的差值；然后在【变量1的方差（已知）（V）】右侧文本框中输入飞龙牌的方差1.08h，在【变量2的方差（已知）（V）】右侧文本框中输入喜达牌的方差5.62h；单击【标志（L）】左侧的复选框，使【□】中出现“√”，【α（A）：0.05】为默认的显著水平，可根据要求进行设定；单击单选框【输出区域（O）】左侧的【○】，使其中出现“·”；然后将光标置于其右侧的文本框，单击任意一空白单元格，此例单击D1单元格，最后单击【确定】按钮，输出结果如图5－12所示。

（4）运算结果说明

对图5－12中的运算结果，需说明以下几点：

图5－12 【z－检验：双样本平均差检验】运算结果

①【平均】为样本平均数；【已知协方差】实际是样本方差；【观测值】指样本单位个数；【假设平均差】是指两个样本平均数之差。

②图中给出的Z统计量是按下列公式计算的：

③【P（Z≤z）单尾】是指左侧单尾，即P（Z≤－｜z｜）＝P（Z≤－1.8832332）＝0.0298344；

④【z单尾临界】是指P（Z≤－1.6448536）＝P（Z≥1.6448536）＝0.05（显著水平）；

⑤【P（Z≤z）双尾】为0.05966，是指两倍的【P（Z≤z）单尾】。

⑥【z双尾临界】是假设检验的拒绝域在正态分布中有对称的左右两个拒绝域区间临界值，每个拒绝域的概率为α/2。本例中，显著水平α＝0.05，则α/2＝0.025，即P（Z≤－1.959964）＝P（Z≥1.959964）＝0.025。

本例中，假设检验的原假设双侧检验H0：μ1－μ2＝0，备择假设H1：μ1－μ2≠0，由于z＝1.8832332，小于“z双尾临界＝1.959964”，所以接受原假设，即两个品牌的保温容器的保温时间没有差别。

5.2.4.2 【t－检验：双样本等方差假设】

例5.8 为了解两台相同机器生产的零件规格是否一致，从甲台机器生产的零件中抽查9件，从乙台机器生产的零件中抽查11件，测得其长度资料如下（单位：cm）：

甲台机器：155 160 163 165 166 168 169 173 175

乙台机器：150 157 160 160 162 163 163 164 155 167 171

现假定两台机器生产的零件长度的方差相等但未知，要求对两台机器生产零件长度的平均数有无显著差异进行检验。在Excel中，操作步骤如下：

（1）新建或打开数据文件

如图5－13所示，在A1：B12中输入数据。

图5－13 【t－检验：双样本等方差假设】运算结果

（2）调用【t－检验：双样本等方差假设】对话框

鼠标单击【数据】→【分析】中的【数据分析】，在弹出的【数据分析】对话框中，选择【t－检验：双样本等方差假设】，然后单击【确定】按钮，则显示【t－检验：双样本等方差假设】对话框，如图5－14所示。

图5－14 t－检验

③输入【t－检验：双样本等方差假设】参数

在【t－检验：双样本等方差假设】对话框中，单击【变量1的区域（1）】右侧文本框，将光标置于其中，然后选择A1：A10单元格区域；再单击【变量2的区域（1）】右侧文本框，将光标置于其中，然后选择B1：B12单元格区域。

【假设平均差（E）】是指两个样本平均数相减之后的差值。此例中，平均数相差为0（如果为单侧检验，则填写原假设中的两个总体平均数的差值）；单击【标志（L）】左侧的复选框，使【□】中出现“√”，【α（A）：0.05】为默认的显著水平，可根据要求进行设定；单击单选框【输出区域（O）】左侧的【○】，使其中出现“·”，然后将光标置于其右侧的文本框，单击任意一空白单元格，此例单击D1单元格，最后单击【确定】按钮，输出结果如图5－13所示。

（4）运结算结果说明

图5－13运算结果需说明以下几点：

【平均】为样本平均数；【方差】为样本方差；【观测值】指样本单位个数；【假设平均差】是指样本平均数之差，此例为0，即假设检验中原假设H0：μ1－μ2＝0。

【合并方差】是两个样本方差的加权平均数，计算公式为

【df】表示自由度，本例中为18，即n1＋n2－2＝9＋11－2＝18。

【t Stat】为进行假设检验的统计量，计算公式为

本例中，t Stat＝（166－161.09）/sqrt［35.49×（1/9＋1/11）］＝1.83

【P（T≤t）单尾】＝TDIST（1.83，18，1）＝0.041679135，【P（T≤t）双尾】＝TDIST（1.83， 18，2）＝0.083358。

本例是进行双尾假设检验，【P（T≤t）双尾】为0.083358，大于α＝0.05，所以接受原假设，即认为两台相同机器生产的零件规格一致。另外，t Stat＝1.83，小于 t双尾临界2.100922037，也应接受原假设。

【t－检验：双样本异方差假设】操作步骤和运算结果与【t－检验：双样本等方差假设】相差不大，其中主要的区别是【df】自由度和t统计量的计算方法不同。【t－检验：双样本异方差假设】的【df】自由度的计算公式是：

t分布的标准误差的计算公式是