厚壁圆筒及球壳在内压作用下的应力

上一节介绍了薄壁容器的无力矩理论，主要假设容器壁厚较薄（即外径与内径之比K≤1.2），在内压作用下，壳体内只有正应力而没有弯曲应力，同时应力沿壳体壁厚是均匀分布的。事实上，壳体内的弯曲应力是客观存在的，应力沿壁厚也不是均匀分布的。某些壁厚较大的承压设备，如化工设备中的合成氨反应器等，若仍按薄壁容器设计计算，将带来较大的误差。

一、厚壁壳体的应力特点

可以将厚壁圆筒看成由许多相互套接在一起的薄壁圆筒组成。对于独立的薄圆筒而言，承受内压后，它的变形是自由的。但是，对于组成厚壁圆筒的各薄壁圆筒而言，它的变形既受到里层材料的约束，又受到外层材料的限制，不再是自由的了。这样，每个薄壁圆筒的内外侧由于变形所受到的约束和限制不一样，因而每个薄壁圆筒所受的内外侧压力也不一样。于是，由此而产生的环向应力在各层也不相同。也就是说，在厚壁圆筒中，环向应力沿壁厚方向（或径向）分布是不均匀的。这是厚壁容器应力和变形的第一个特点。

厚壁容器应力变形的第二个特点：由于各层材料变形的相互约束和限制，在径向也产生了应力，叫作径向应力，用σr表示。这也是薄壁容器所没有的。与上述道理相同，径向应力σr沿壁厚方向分布也是不均匀的。

和薄壁容器相似的是，如果厚壁圆筒两端是封闭的，则在轴线方向也将产生轴向应力，仍用σϕ表示。除了端部与封头连接处附近区域由于两部分变形必须协调而产生弯曲应力外，在离开两端稍远处，轴向应力σϕ沿壁厚方向分布是均匀的。

综上所述，当承受内压或外压后，厚壁容器中将产生三个应力分量：环向应力σθ，沿壁厚方向非均匀分布；轴（经）向应力σϕ，沿壁厚方向均匀分布；径向应力σr，沿壁厚方向非均匀分布。

在厚壁容器中，由于应力沿壁厚非均匀分布，且分布规律又是未知的，因此，采用截面法及单一的微元体平衡法无法确定某一点应力的大小，而必须从平衡、几何、物理三个方面加以分析。

二、厚壁圆筒轴向应力

厚壁圆筒在结构上是轴对称的，如果所受的内压和外压也是轴对称的，那么，由此产生的应力和变形也一定是轴对称的，即筒体横截面变形前后都是圆形的。这类轴对称的应力和变形均可在柱坐标系中描述，筒体中的任意一点可用三个坐标（r，θ，z）表示。这样，其应力分量σθ和σϕ将只是各点到中心距离r的函数，而与纵坐标z和角坐标θ无关，从而使问题得到简化。

厚壁圆筒两端封闭承受内压时，在远离端部的横截面中，其轴向应力可用截面法求得，如图6−13所示。假定将圆筒体横截为两部分，考虑其中一部分轴向力的平衡，则有：

式中 σϕ——轴向应力，Pa；

Ro——厚壁圆筒的外径，m；

Ri——厚壁圆筒的内径，m；

K——厚壁圆筒的外径与内径之比；

p——内压，Pa。

图6−13 厚壁筒体环向应力

三、厚壁圆筒环向应力与径向应力

环向应力σθ及径向应力 rσ随半径的变化规律，必须借助于微元体，考虑其平衡条件及变形条件，进行综合分析。

为了分析厚壁筒体上任意一点的应力（如图6−14所示），在圆筒体半径为r处，以相距dr的两环向截面及夹角为dθ的二径向截面截取任一微元体，其微元体在轴向的长度为1。由于轴向应力对径向应力的平衡没有影响，所以，图中未标出轴向应力。

图6−14 厚壁圆筒微元体受力情况

1. 方程分析

1） 平衡方程

由于轴对称的关系，微元体上各点的环向应力σθ大小相等；微元体半径r弧面上的应力为σr，半径r+dr弧面上的应力为σr+dσr ，远离封头的轴向应力σϕ相等，并垂直于径向。

考虑微元体的平衡，仅考虑四个面上的应力在径向投影之和等于零，即：

整理并略去高阶无穷小量，且

这就是微元体的平衡方程。

2） 几何方程

在内压作用下，壳体上的各点都将发生位移，微元体也会产生变形，如图6−15所示。

图6−15 厚壁圆筒微元体变形情况

若坐标r的圆柱面ad径向位移u，坐标为（r+dr）的圆柱面bc的径向位移为u+du，则微元体的径向应变 rε为：

微元体的环向应变为：

式（6−16）及式（6−17）就是微元体的几何方程，表面微元体的径向应变和环向应变均取决于径向位移。

由对r求导得出：

式（6−18）称为微元体的变形协调方程，表示微元体径向位移与环向位移的互相制约的关系。

3） 物理方程

根据广义胡克定律可以列出微元体应力与应变之间的物理方程，物理方程也称为变形协调方程，方程如下：

式中 E——材料的弹性模量，Pa；

μ——材料的泊松比。

式（6−20）对r求导：

由式（6−19）减去式（6−20）后两边同乘以可得：

由式（6−18）、式（6−21）与式（6−22）可得：

由式（6−15）移项及对r求导可得：

由式（6−23）、式（6−24）及式（6−25）整理后得：

2. 微分方程求解

式（6−26）为不显式包含σr的一元二阶微分方程，可采用置换法将其降为一阶微分方程，

将式（6−27）代入式（6−15）后整理得：

3. 边界条件的确定

前面已解出厚壁筒体的径向应力表达式（6−27）和环向应力表达式（6−28），要想使用这些表达式，还必须根据筒体的受力条件确定表达式中的积分常数 1C和 2C。

对于筒体上的径向应力 rσ，在筒体的内表面（即r R=i ）处，径向应力的大小等于筒体承受的内压力，且为压应力，故：

在筒体的外表面（即r R=o处），因筒体与大气接触，表压为零，故：

将上述两个边界条件代入式（6−27），可以解得：

厚壁圆筒体承受内压时的径向应力和环向应力分别为：

应力最大点在圆筒内壁：

其应力最小点在圆筒外壁：

其应力沿壁厚的分布如图6−16所示。

图6−16 承受内压厚壁圆筒的应力分布

四、厚壁与薄壁圆筒应力公式比较

在推导厚壁圆筒应力计算公式时，其假设附加条件远少于薄壁筒体应力分析时的无力矩理论，因此，厚壁筒体应力计算公式比薄壁筒体应力计算公式更精确，即厚壁筒体计算公式同时适用于薄壁筒体的应力计算。但采用无力矩理论计算薄壁容器应力时，得到近似结果的精度可以满足工程设计要求。

为了进一步了解无力矩理论的适用范围及精度数值，下面分析一下厚壁筒体和薄壁筒体环向应力的差异。

圆筒壳环向薄膜应力为：

若以厚壁圆筒应力公式进行计算，其最大环向应力为：

随K值的增加而增加，具体见表6−2。

表6−2 薄壁圆筒壳环向应力与厚壁圆筒最大环向应力的比较

可以看出，在K≤1.2时，用薄壁圆筒应力公式算得的环向应力是十分接近按厚壁圆筒应力公式算得的最大环向应力的。当K较小时，薄壁及厚壁圆筒分别按照第三强度理论计算得到的当量应力也比较接近。

五、厚壁球壳应力分析

厚壁球壳在内压作用下，其壁面内也呈三向应力状态，不但有环向应力σθ和经向应力σϕ，还有径向应力 rσ。由于厚壁球壳在结构上是轴对称的，压力载荷也是轴对称的，因而产生的应力和变形也是轴对称的。其中同一壁厚处环向应力σθ和经向应力σϕ大小相等，三向应力沿壁厚方向即半径方向发生变化。厚壁球壳应力分析过程与厚壁圆筒类似。

设球壳的内半径为 iR，外半径为 oR。承受内压为p，在球壳半径为r处，用相距dr的两个半圆球面及过球心的水平截面截取单元体，如图6−17所示。

图6−17 厚壁球壳单元体受力情况

建立竖直方向平衡方程：

整理并略去高阶无穷小量可得：

应变与位移的几何关系跟厚壁圆筒情形类似，即：

根据广义胡克定律，有：

其中：εθ ε=ϕ。

因此，联立以上公式，可得应力微分方程：

承受内压的球壳，其边界条件与厚壁圆筒情形类似，即内壁压力径向应力为−p，外壁径向应力为0，因此，可对式（6−32）积分求解得到厚壁球壳承受内压时的径向应力和环向应力分别为：