边界效应与应力集中

一、边界应力概念

承受内压的圆筒体，总是和封头、管板、端盖等连接在一起，组成一个封闭体，以满足使用要求。在内压作用下，它们的应力状态不同，变形量也不同。由于筒体和封头是连接在一起的，所以，它们的变形受到相互约束，最终达到某种协调。而这种变形的协调是由局部内力造成的，因为这种内力只存在于局部，因此，也称为边界应力。这种应力对筒体和封头的影响称为边界（边缘）效应。边界效应具有很强的局部特征，它存在于不同形状壳体的连接处，在开孔接管处、支座区等也存在边界效应。

1. 半径增量

以筒体和球形封头连接为例，连接线上各点是筒体与封头协调变形后的公共点，如图6−20所示。

图6−20 圆筒体与球形封头连接时的边界效应

（1） 圆筒体的半径增量。设圆筒体的半径为R，在内压作用下半径的增量为ΔRt，根据环向应变与半径增量之间的关系，有：

根据广义胡克定律，环向应变与应力的关系为：

（2） 封头的半径增量。同样可以求出球形封头各点承受内压后的径向位移ΔR球为：

同样可以求出标准椭球形封头赤道上各点承受内压后的径向位移ΔR椭为：

由此可见，筒体、球形封头及标准椭球封头在连接处的径向位移均不相同，筒体与球形封头的径向位移差值为：

筒体与标准椭球封头的径向位移差值为：

因此，它们在连接处的变形是不连续的。

在连接线上，作为筒身的一部分应沿径向向外位移ΔRt；作为封头的一部分，应沿径向向外或向内位移ΔR球（椭），但封头在连接线上的径向位移量总是不同于筒体在连接线上的径向位移量，筒体向外的径向位移总是大于封头向外的径向位移。

实际情况是，连接线上的点在承受内压后只能有一个径向位移，最后的变形位置只能在二者单独变形的中间位置，这样才能保持构件在连接处变形后是连续的，即二者在连接处互相约束限制。

圆筒体受到封头的约束和限制，端部产生“收口”弯曲变形，以抵消内压作用于圆筒所产生的向外径向位移。

2. 轴对称载荷下的圆筒体弯曲问题

壳体边界变形的协调问题主要是由边界区域的弯矩和剪力引起的，因此，要进行边界应力分析，必须首先分析圆筒体在轴对称载荷作用下的弯曲问题。

筒体在轴对称载荷作用下，筒体变形后的形状是轴对称的，筒体变形后的母线发生挠曲变形，挠曲线用函数 ( )xω 表示，ω以离开筒体轴线为正。在边界区域，载荷仍然是轴对称的，但沿筒体轴线不再是均匀分布的了。

如图6−21所示，圆筒壳可以被想象成由许多沿轴线并排的、互相靠近的细长梁构成，每条细长梁都夹在两边相邻细长梁之间，受到其约束和限制。圆筒壳轴向承受弯曲时，相当于各条细长梁都承受弯曲，由于每条细长梁在宽度方向（圆周方向）与其他细长梁连在一起，在宽度方向变形受到限制，因而，为了保持变形协调，圆筒壳受弯曲时不仅横截面内有弯矩和剪力，其纵截面内也有弯矩和剪力。这些弯矩、剪力是沿圆周均匀分布的，是单位长度（宽度）上的弯矩和剪力。

图6−21 圆筒体简化成由细长梁组成

简言之，对圆筒壳分解成的纵向梁条，如无封头限制，承受内压后应整体沿圆筒径向向外位移；封头对圆筒的限制相当于在纵向梁条端部加上集中载荷，使梁条产生弯曲变形，而相邻梁条从两侧限制了纵向梁条的弯曲变形。而且，纵向梁条的弯曲变形倾向越大，相邻梁条的约束和限制力也越大。这有点像置于弹性地基上的铁轨，当车轮作用于铁轨使其发生弯曲变形时，弹性地基给铁轨以反弯曲的约束力，减弱和抵消铁轨的弯曲变形。车轮给铁轨的作用力越大，铁轨下陷弯曲的倾向越大，弹性地基对铁轨的反作用力也越大。由于弹性地基的约束作用，铁轨的弯曲变形仅限于车轮附近。在经典力学中，正是从分析弹性基础上的梁入手，分析处理圆筒壳的弯曲问题。

二、关于边界效应的一般性结论

（1）边界效应是圆筒体与其相连元件在承载后变形不一致、互相制约而产生附加内力和应力的现象。在下列情况下，均会产生边界效应及不连续应力：结构几何形状突变；同形状结构厚度突变；同形同厚结构材料突变。

（2）边界应力有明显衰减特征，即距离壳体连接处远时，边界应力已衰减到可以忽略不计的程度，故边界应力具有局部性。

（3）当相互连接的壳体处于弹性状态时，必然产生边界应力，但如果边界应力过高使材料发生屈服变形，则上述约束将得到缓解，应力重新分布，结果边界应力得到自动限制，因此，边界应力具有自限性。

（4）圆筒体与凸形封头连接时，连接处的边界应力很小，通常可以不予考虑；圆筒体与厚圆平板连接时，边界处的不连续应力较大。结构设计中，应尽量采用凸形封头，而少用平板封头。

三、应力集中

工程中由于结构或工艺上的需要，常开有孔槽或留有凸肩、表面切割螺纹等，使截面形状发生突变。研究表明，在截面突变处局部范围内，应力值将急剧增加，而距突变区较远处又渐趋平均。这种由于截面的突变而导致局部应力增大的现象，称为应力集中。

压力容器开孔会应力集中，靠近孔边的小范围内应力很大，而离开孔边较远处的应力降低许多，且分布较均匀。应力集中的程度，通常以最大局部应力与被削弱截面上的最大基本应力之比（称为理论应力集中系数）来衡量，理论应力集中系数以 tK表示。

下面主要分析开孔造成的应力集中情况。

1. 圆孔附近的应力集中

1） 单向均匀拉伸情况

在一块完整的平板上，开一孔径为a的圆孔（孔径远小于平板宽度），平板两端作用着均匀分布的拉伸应力σ，如图6−22所示。

根据弹性力学得出平板中应力分量为：

从平板单向均匀拉伸情况的应力公式可得出以下结论：

（1）在孔边缘（r=a）垂直于拉伸方向的截面上，应力σθ最大。

σθ的最大值在θ=±π/2处，即在垂直于拉伸方向的两端孔边，其值为σθmax σ=3 。σθ的最小值在 0θ= 或 πθ= 处，即在拉伸方向的两端孔边，其值为σminθ σ=− ，如图6−23所示。

图6−22 平板开圆孔单向拉伸

图6−23 单向拉伸应力集中

（2）在孔边缘略远处，这一应力迅速衰减，一直衰减到无开孔时的平板应力为止。例如，当r=2a时，σθmax=1.22σ；当r=3a时，σθmax=1.07σ。

（3）理论应力集中系数Kt=σmax/σ=3σ/σ=3。

2） 双向均匀拉伸情况

平板承受双向拉伸应力σθ和σϕ时，孔边缘的应力可根据单拉伸叠加，如图6−24所示。

图6−24 平板开圆孔双向拉伸

（1）当σθ单独作用时：σm1 σ=3θ ，σ1n σ=−θ。

（2）当σϕ单独作用时：σ2m σ=−ϕ，σn2 σ=3ϕ。

（3）当σθ和σϕ同时作用时：σm=σm1+σm2=3σθ−σϕ，σn=σn1+σn2=−σθ+3σϕ。

当应力比σθ/σϕ=2时，即相当于圆筒壳承受内压时的应力状态，其值为：

则理论应力集中系数为：

2. 椭圆孔附近的应力集中

单向均匀拉伸情况如下：

（1）椭圆孔长轴垂直于平板拉伸方向时，在长轴端点出现的最大应力为：

在短轴端点处的应力为：

由上式可以看出，随着 /a b值的增加，应力也增加。开孔越是狭长，应力也就越大。若1 a/b=2时，σσ=5 ，即理论应力集中系数为5。

（2）椭圆孔长轴平行于平板拉伸方向时，在短轴端点出现最大应力为：

在长轴端点处的应力为：

在圆筒壳上开椭圆孔时，短轴平行于圆筒体轴向方向时，可以得到比开圆孔更小的理论应力集中系数。所以，在工程上为了减少应力集中，需要在圆筒上开椭圆孔，使短轴平行于圆筒体轴向方向。但是，工程上很少开椭圆孔并用椭圆接管连接，这主要是因为由椭圆过渡到圆形的接管与外接管道相连，其制造费用比较昂贵。