知识目标
平面的投影特性
平面在三投影面体系中的投影特性
技能目标
能根据平面的两面投影分析和求作平面的第三面投影
能根据投影正确判别空间点或直线是否在平面内
任务描述
1．平面的三面投影
平面的投影，是其轮廓线投影所组成的图形，因此，可根据平面的几何形状特点及其对投影面的相对位置，找出能够决定平面的形状、大小和位置的一系列点来，然后作出这些点的三面投影并依次连接这些点的同面投影，即得到平面的三面投影。
在求作多边形平面的投影时，可先求出它的各直线端点的投影，然后连接各直线端点的同面投影，即可得到多边形平面的三面投影。
在求作曲线平面的投影时，也可先作出能确定曲线轮廓的一些主要点的投影，然后用曲线板顺次光滑连接主要点的同面投影，即得到曲线平面的三面投影
由上可见，作平面图形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
2．平面的投影特性
平面相对于投影面的位置，有以下三种情况：
（1）平面平行于投影面，如下图所示。
（2）平面倾斜于投影面，如下图所示。
（3）平面垂直于投影面，如下图所示。
在第一种情况中，当平面平行于投影面时，其投影与原平面的形状、大小相同，这种性质叫做真实性；
在第二种情况中，当平面倾斜于投影面时，其投影与原形相类似且比原形缩小，这种性质叫做收缩性；
在第三种情况中，当平面垂直于投影面时，其投影积聚为一条直线，这种性质叫做积聚性。
上述平面的投影特性可以归纳为：平面平行于投影面，投影原形现；平面倾斜于投影面，投影面积变；平面垂直于投影面，投影聚成线。
3．平面在三投影面体系中的投影特性
在三投影面体系中，平面相对于投影面的位置可分为以下三类：①一般位置平面；②投影面平行面；③投影面垂直面。
后两种平面又称特殊位置平面，下面分别讨论这三类平面的投影特性。
1）投影面平行面
平行于一个投影面并与另外两个投影面垂直的空间平面，称为投影面的平行面。平行于H面的平面称为水平面，平行于V面的平面称为正平面，平行于W面的平面称为侧平面。
（1）水平面投影特性，如下图所示：
水平投影反映真形；
正面投影有积聚性，积聚为直线，且平行OX轴；
侧面投影有积聚性，积聚为直线，且平行OY轴。
（2）正平面投影特性，如下图所示。
正面投影反映真形；
水平投影有积聚性，积聚为直线，且平行OX轴；
侧面投影有积聚性，积聚为直线，且平行于OZ轴。
（3）侧平面投影特性，如下图所示：
侧面投影反映真形；
水平投影有积聚性，积聚为直线，且平行OY轴；
正面投影有积聚性，积聚为直线，且平行OZ轴。
投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映空间平面的实形；在另外两面上的投影积聚成直线，且分别平行于空间平面所平行的投影面的两根投影轴。
2）投影面垂直面
空间平面图垂直于一个投影面与另外两个投影面倾斜，称为投影面的垂直面。垂直于H面与V、W面倾斜，称为铅垂面；垂直于V面与H、W面倾斜，称为正垂面；垂直于W面与H、V面倾斜，称为侧垂面。
（1）铅垂面投影特性，如下图所示：
水平投影有积聚性，积聚为直线，且与其水平迹线重合；
水平投影与OX轴的夹角反映β角，与OY轴的夹角反映 角；
正面投影和侧面投影均为类似形。
（2）侧垂面投影特性，如下图所示：
侧面投影有积聚性，积聚为直线，且与其侧面迹线重合；
侧面投影与OY轴的夹角反映ɑ角，与OZ轴的夹角反映β角；
正面投影和水平投影均为类似形。
（3）正垂面投影特性，如下图所示：
正面投影有积聚性，积聚为直线，且与其正面迹线重合；
正面投影与OX轴的夹角反映ɑ角，与OZ轴的夹角反映 角；
水平投影和侧面投影均为类似形。
投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为与投影轴倾斜的直线，与两投影轴的夹角反映空间平面对其他两平面的夹角；其他两平面的投影为与空间平面相类似的图形。
3）一般位置平面
对三个投影面都倾斜的空间平面，称为一般位置平面。其投影特性为：在三个投影面上的投影均是与空间平面相类似的图形，如左图所示。
4．平面上的直线和点
1）平面上的直线
直线在平面上的几何条件为：直线通过平面上的两点，或直线通过平面上的一点，且平行于平面上的任一直线。如下图所示。
2）平面上的点
点在平面上的几何条件：点在平面上的任一直线上，则点在此平面上。
［例4］ 已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。
解：（1）利用平面的积聚性求解（课堂上分析讨论，完成作图）。
（2）通过在面内作辅助线求解（课堂上分析讨论，完成作图）。
任务实施
（1）问题分析
（2）规律分析
（3）找出特性
（4）画点或直线或平面的投影
任务考评
（续表）
任务一小结：（基本知识）
工程图样是工程界的技术语言，是制造业、建筑业等工程界以及工程技术质量监督部门最基本的技术文件。为了便于管理和交流，国家发布了一系列相关的标准，对图样的内容、格式、表示方法等作了统一的规定，所有工程技术人员必须严格遵守，认真执行。《机械制图》国家标准是机械图的识读与绘制的准则，必须熟悉。
本任务以必须和够用为原则，来处理投影基础理论和内容，主要是突出投影分析能力的培养。讲授点、直线、平面的投影，是从形象具体的物体上的点、直线、平面的投影分析引入，然后加以抽象化，为读图和绘图奠定投影分析的基础。本任务的重点内容是掌握点、直线、平面的投影特性，尤其是特殊位置直线与平面的投影特性；点、直线、平面的相对位置的判断方法。
一、直线上的点
1．投影特性
（1）点的投影在直线的同面投影上。
（2）将直线成比例分割的点的投影，必然分线段的投影成定比——定比定理。
2．判断方法
（1）直线为一般位置时，如下图所示。
（2）直线为特殊位置时，如下图所示。
二、两直线的相对位置
1．平行
同名投影互相平行。对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行；对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相平行，空间直线不一定平行。如下图所示。
（1）
（2）
2．相交
同名投影相交，交点是两直线的共有点，且符合空间一个点的投影规律，见下图（1）。但对于特殊位置直线，只有两个同名投影互相相交，空间直线不一定相交，参看下图（2）。
（1）
（2）
3．交叉（异面）
同名投影可能相交，但“交点”不符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一对重影点的投影，如下图所示。
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