可重构模块机器人的动力学

求解机器人的动力学问题， 现有的分析方法有很多， 如拉格朗日法、牛顿-欧拉法、凯恩方法、 达朗贝尔方法等。 虽然这些分析方法在建模原理上有所不同， 但是对于相同的机器人系统， 求解出的动力学方程是等价的。在上述动力学分析方法中， 牛顿-欧拉法和拉格朗日法的应用最为广泛。

牛顿-欧拉法直接依靠牛顿第二定律和欧拉方程， 它将力和力矩与物体的运动直接联系起来。 它考虑了作用在各个连杆上的全部力和力矩， 包括连杆之间的耦合力和耦合力矩。 牛顿-欧拉法的优势是计算速度快、 精度高。 这种方法计算非常烦琐， 但是求解程序编写简单， 动力学模型由一组高效的正向和反向迭代方程组成。 运动学信息由基座到末端连杆正向迭代， 施加到各关节的力和力矩由末端连杆到基座反向迭代， 非常适合实时控制。

牛顿-欧拉迭代算法包括两步迭代过程。 在正向迭代过程中， 各个连杆的广义速度和加速度从基座到末端连杆逐级传递， 在反向迭代过程中，广义力从末端连杆到基座逐级传递。

图2.3 广义连杆坐标系

将关节模块i和连杆模块i定义为广义连杆i， 质心在连杆模块的几何中心。 建立广义连杆i上的质心坐标系和连杆坐标系，如图2.3所示。 其中， 坐标系i为关节模块i的参考坐标系，坐标系i*为广义连杆i的质心坐标系。设Ti*，i＝(Ri*，i，pi*，i)∈SE(3)为坐标系i与坐标系i*的相对位姿，其中Ri*，i为旋转矩阵，pi*，i为位置向量。

连杆i关于质心坐标系i*的牛顿-欧拉方程为:

其中，为施加到i*的广义力；为坐标系i*下的广义质量矩阵，mi为广义连杆i的质量，Ii*∈R3×3，为广义连杆i在质心坐标系下i*下的惯性张量；为刚体的广义速度，其中分别为刚体的平动速度和角速度；为刚体的广义加速度；为伴随矩阵ad Vi*的对偶操作，定义为

将广义力Fi*、广义速度Vi*和广义加速度转换到坐标系i下:

其中为伴随矩阵，为的对偶操作，定义为:

将(2.22)˜(2.24)带入(2.20)， 并利用如下恒等式:

得到广义连杆i关于坐标系i的牛顿-欧拉方程:

其中

牛顿-欧拉迭代算法包括两步迭代过程。 在正向迭代过程中， 各个连杆的广义速度和加速度从基座模块到工具模块逐级传递， 在反向迭代过程中， 广义力从工具模块到基座模块逐级传递。 具体过程如下:

首先对广义速度及加速度、 广义力进行初始化， 即

式 (2.30) 中g为重力加速度。

(1) 正向迭代:

(2) 反向迭代:

则关节力矩i的计算表达式为:

对上述动力学方程进行自动建模， 可以得到牛顿-欧拉迭代的解析表达[103˜104]:

其中，

并且N∈R6n×6n定义为:

改写式(2.36)˜式(2.39)为:

由式(2.40)˜式(2.43)可得机器人封闭形式的动力学方程为

其中M(q)为广义质量矩阵，为离心力与哥氏力项，G(q)为重力项与外力项，τ为关节力矩。

在实际系统中， 由于可重构模块机器人的不确定性因素的存在， 很难得到精确的动力学模型。 所谓不确定性是指建立被控对象数学模型时存在未能考虑或有意忽略的因素， 对机器人系统而言， 不确定性表现为两大类:

(1)参数不确定性， 如负载、 连杆质量及连杆几何参数 (包括质心、连杆长度、 惯量等) 的不确定性 (即部分已知或未知)。

(2)非参数不确定性， 如高频未建模动力学， 包括执行器动力学、 结构共振模式及其连杆弹性等； 低频未建模动力学， 如库仑摩擦、 静摩擦等、 测量噪声、 计算舍入误差及采样延迟等。

因此， 如按照常规的线性控制方法来设计控制系统将不能得到理想的效果， 必须按照非线性系统理论对机器人系统进行分析和研究， 在设计实际可重构模块机器人动态控制系统时必须考虑这些不确定性因素对控制品质的影响， 实现系统的鲁棒性， 从而提高机器人的工作性能。 如果部分考虑这些不确定性因素， 那么得到的完整的机器人力学模型如下:

其中，为摩擦力，τd为外界干扰。由于摩擦力是内部作用，所以在关节间是非耦合的，只与角速度有关，并且满足

其中，Fv是黏滞摩擦的系数矩阵；Fd是动态摩擦。