弹性范围内的剪应力计算公式

当土体的剪应力τ等于土的抗剪强度τf的临界状态时称为极限平衡状态,表征该状态下土的应力状态和土的抗剪强度指标之间的关系式称为土的极限平衡条件,即σ1、σ3与内摩擦角φ、黏聚力c之间的数学表达式。

1.土体中任意一点的应力状态

以平面问题为例。从土体中取一单元体,如图5-6(a)所示。设作用在该单元体上的大、小主应力分别为σ1和σ3,在单元体内与大主应力σ1作用面成任意角α的mn平面上,有正应力σ和剪应力τ。为建立σ、τ和σ1、σ3之间的关系,取楔形脱离体abc,如图5-6(b)所示。

根据静力平衡条件,分别取水平和垂直向合力为0,得:

解(a)和(b)的联立方程,可求得任意一截面上mn上的法向应力σ和剪应力τ:

由式(5-3)即可计算任意一截面上相应的法向应力σ和剪应力τ,但计算工作量比较繁重。采用莫尔应力圆则可简便地表达任意α角时相应的σ与τ值的关系,如图5-6(c)所示。在σ－τ直角坐标系中,按一定比例在坐标中点绘出σ1和σ3,再以σ1－σ3为直径作圆,即为莫尔应力圆。以D点为圆心,自Dσ1逆时针转2α角,使之交于M点。M点的横坐标即为斜面mn上的正应力σ,纵坐标即为斜面mn上的剪应力τ。

图5-6　土中任意一点的应力状态
(a)单元体上的应力;(b)脱离体上的应力;(c)摩尔应力圆

证明如下:

由图5-6(c)可知:

剪应力最大值τmax＝(σ1－σ3),作用面与主应力σ1作用面的夹角α＝45°。

利用莫尔应力圆可以表示任意一截面上的法向应力σ和剪应力τ。

【例5-1】 已知地基土中某点的最大主应力σ1＝600kPa,最小主应力σ3＝200kPa。绘制该点应力状态的莫尔应力圆。求最大剪应力τmax值及其作用面的方向,并计算与大主应力作用面成夹角α＝15°的斜面上的正应力和剪应力。

【解】 (1)取直角坐标系τ-σ。在横坐标Oσ上,按应力比例尺确定σ1＝600kPa和σ3＝200kPa的位置。以σ1σ3为直径作圆,即为所求莫尔应力圆,如图5-7所示。

图5-7　莫尔应力圆

(2)最大剪应力值τmax计算。由式(5-3),将数值代入得:

当sin2α＝1时,τ＝τmax,此时2α＝90°,即α＝45°。

(3)当α＝15°时,由式(5-3)得:

上述计算值与图5-7上直接量得的值相同,即a点的横坐标σ＝573kPa;a点的纵坐标为τ＝100kPa。

2.土的极限平衡条件

为判别土体中某点的平衡状态,将抗剪强度包线与描述土体中某点的摩尔圆绘于同一坐标中,根据其相对位置关系判断该点所处的应力状态(图5-8),可以划分为以下三种状态:

图5-8　摩尔圆与抗剪强度之间的关系

(1)当τ＜τf时,该点处于弹性平衡状态,圆Ⅰ位于抗剪强度包线下方,表明通过该点的任意平面上的剪应力都小于抗剪强度。

(2)当τ＝τf时,该点处于极限平衡状态,圆Ⅱ相切于抗剪强度包线,表明相切点对应平面上的剪应力等于抗剪强度。

(3)当τ＞τf时,该点为剪切破坏状态,圆Ⅲ与抗剪强度包线相割,表明通过该点的某些平面上的剪应力超过了抗剪强度,此状态实际上是不存在的。

土的极限平衡条件即是τ＝τf时的应力间关系,那么圆Ⅱ被称为极限应力圆。为了建立极限应力圆与抗剪强度包线之间的关系,根据图5-9的几何关系可得到极限平衡条件时的数学表达式:

图5-9　土的极限平衡条件

利用三角函数关系简化得:

土体处于极限平衡状态时的破裂面与大主应力面所成的夹角

同理,利用几何关系和三角函数换算,可求得无黏性土的极限平衡条件:

式(5-5)～式(5-9)统称为摩尔－库仑强度理论,由该理论所描述的土体极限平衡状态可知,土的剪切破坏并不是由最大剪应力τmax＝所控制,即剪破面并不产生于最大剪应力面,而是与最大剪应力面成的夹角。

【例5-2】 已知某地基土通过试验测得土的抗剪强度指标c＝15kPa,φ＝20°。问当地基中某一单元土体上的小主应力为200kPa,而大主应力为多少时,该点刚好发生剪切破坏?

【解】 设达到极限平衡状态时所需的最大主应力为σ1f,则由式(5-5)得:

所以,当大主应力为450.8kPa时,该点刚好发生剪切破坏。