灰色系统预测方法的具体应用

1982年，中国学者邓聚龙教授所创立的灰色系统理论是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。灰色系统理论以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。社会、经济、农业、工业、生态、生物等许多系统，是按照研究对象所属的领域和范围命名的，而灰色系统却是按颜色命名的。在控制论中，人们常用颜色的深浅形容信息的明确程度，如艾什比 (Ashby) 将内部信息未知的对象称为黑箱 (Black Box)，这种称谓已为人们普遍接受。我们用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明确，用“灰”表示部分信息明确、部分信息不明确。相应地，信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统称为灰色系统。

人们在社会经济活动或科学研究过程中，经常会遇到信息不完全的情形。如在农业生产中，即使是对播种面积、种子、化肥、灌溉条件等信息完全明确，但由于劳动力技术水平、自然环境、气候条件、市场行情等信息不明确，仍然难以准确地预计出产量、产值。对于生物防治系统，虽然害虫与其天敌之间的关系十分明确，却往往因为人们对害虫与饵料、天敌与饵料、某一天敌与别的天敌、某一害虫与别的害虫之间的关联信息了解不够，导致生物防治难以达到预期效果。价格体系的调整或改革，常常因为缺乏民众心理承受力的信息以及某些商品价格变动对其他商品价格影响的确切信息而举步维艰。在证券市场上，即使最高明的系统分析人员亦难以稳操胜券，因为，你测不准金融政策、企业改革、国际市场和政治风云变化以及某些板块价格波动对其他板块所产生的影响的确切信息。一般社会经济系统，由于其没有明确的“内”“外”关系，系统本身与系统环境、系统内部与系统外部的边界若明若暗，难以分析输入 (投入) 对输出 (产出) 的影响。同一个经济变量，有的研究者将它视为内生变量，另一些研究者却把它视为外生变量，这是因为缺乏系统结构、系统模型及系统功能信息所致。系统信息不完全的情况可以归纳为以下4种: 一是元素(参数) 信息不完全; 二是结构信息不完全; 三是边界信息不完全; 四是运行行为信息不完全。“信息不完全”是“灰”的基本含义。从不同场合、不同角度看，还可以将“灰”的含义加以引申，见表5－3。

表5－3 “灰”概念引申

灰色系统理论经过20年的发展，已基本建立起多学科的结构体系。它的主要内容包括以灰色朦胧集为基础的理论体系，以灰色关联空间为依托的分析体系，以灰色序列生成为基础的方法体系，以灰色模型 (GM) 为核心的模型体系，以系统分析、评估、建模、预测、决策、控制、优化为主体的技术体系。灰色系统分析除灰色关联分析外，还包括灰色聚类和灰色统计评估等内容。灰色序列生成通过序列算子的作用来实现，序列算子主要包括缓冲算子 (弱化算子、强化算子)、均值生成算子、级比生成算子、累加生成算子和累减生成算子等。灰色模型按照五步建模思想构建，通过灰色生成或序列算子的作用弱化随机性，挖掘潜在规律，经过灰色差分方程与灰色微分方程之间的互换实现了利用离散的数据序列建立连续的动态微分方程的新飞跃。灰色预测是基于GM模型做出的定量预测，按照其功能和特征可分为数列预测、区间预测、灾变预测、季节灾变预测、波形预测和系统预测等几种类型。灰色决策包括灰靶决策、灰色关联决策、灰色统计、聚类决策、灰色局势决策和灰色层次决策等。灰色控制的内容主要包括本征性灰色系统的控制问题和以灰色系统方法为基础构成的控制，如灰色关联控制和GM(1，1) 预测控制等。其中，灰色预测模型建立的实质是通过对原始数据进行累加生成，得到规律性较强的曲线后，用指数曲线去拟合得到预测结果。具体步骤如下:

第一，GM(1，1) 模型的建立。设非负原始时间序列X(0)有n个观测值X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n))，其中x(0)(k) ＞0， k=1，2，…，n; 对其做一次累加，得X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，其中x(1)(k)=，k=1，2，…，n。

GM(1，1)模型的微分方程+a X(1)=b，其中，a为发展系数，b为内生控制灰数。

设a^为待估参数向量=［a，b］T，利用最小二乘法可求得a与b的值。

a^=(BTB)－1BTYN，其中，

YN=(x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n))T(5－4)

求微分方程，可得预测模型 (时间相应序列) 为:

x^(1)(k+1)=x(0)(1)－b[ ]ae－ak+ba;k=1，2，…，n(5－5)

通过对做一次累减还原，则，根据上述公式，计算未来的预测值。但是一定要经过检验才能判定这个模型是不是合理，只有经过精度检验合理的模型才能用来做预测。

第二，模型的检验。灰色模型的精度检验一般有三种方法，即残差检验、关联度检验和后验差检验，一般最常用的是残差检查和后验差检验，下面就残差检验和后验差检验进行介绍。

所谓残差检验，计算原始数列x(0)(k) 与模型计算值(k) 的残差δ(0)(k) 和相对误差M(0)(k)，残差δ(0)(k)=x(0)(k)－(k)，相对误差M(0)(k)

根据经验，一般认为M(0)(k) ＜0.2时，模型残差检验是合格的。

所谓后验差检验，是指先计算原始数列的平均值，残差平均值，)(k)，再计算原始数列的方差，残差方差

根据=x(0)(k)－－x)2，s0)(k)－就可以计算出方差比c和小误差概率p，方差比c=，小误差概率p=P(δ(0)(k)－ ＜0.6715s1)。模型的精度等级一般由p和c共同刻画。

根据上述公式，可以预测出2012—2015年生态文明建设评价指标体系中的具体指标数据，但是要经过检验后才可确定预测的结果是否可用，判断这个模型是否合理。一般而言，通过三种方法可以检验灰色模型的精度。本书采用残差检验方法检验预测中的相对误差。残差是原始数列减去模型预算值。相对误差值是残差除以原始数列的绝对值。预测过程中相对误差值小于0.2，模型残差检验是合格的; 若小于0.1，则预测精度非常高。