灰色系统理论

（1）灰色系统理论的思想和方法

灰色系统理论是由华中科技大学邓聚龙教授于1982年提出并加以发展的。灰色系统的概念是黑箱概念的一种推广。控制论中的黑箱是指当人们考察对象（系统）时，无法直接观测其内部结构，只能或只需通过考察其外部输入、输出来认识的现实系统。白箱则是相对黑箱而言的，是指能直接观测对象内部结构的现实系统。从信息的观点来看，黑箱代表信息完全未知或信息不确定的系统；白箱是指信息完全确知的系统；灰箱则是指既含有已知信息，又含有未确定信息的系统。灰色系统理论认为：灰色性广泛存在于各种系统中，系统的随机性和模糊性只是灰色性的两个不同方面的不确定性，因而灰色系统理论能广泛应用于各个领域。灰色系统理论就是已知的白化参数通过分析、建模、控制和优化等程序，将灰色问题淡化或白化。

（2）关联分析

灰色系统理论提供了关联分析方法，所谓关联分析是根据系统各因素间或系统行为间的数据列或指标的发展趋势与行为作相似或相异程度的比较，以判断因素的关联与行为的接近。对抽象系统作关联分析时，关键是找抽象指标或抽象因素的映射量。通过定性研究，映射量一般是可以找到的。关联分析的基本公式是关联系统公式，其定义如下：

设参考时间序列和比较时间序列分别为：

X0＝｛x0（t1），x0（t2），…，x0（tn）｝；

Xj＝｛xj（t1），xj（t2），…，xj（tn）｝

则X0与Xj在tk时刻的关联系数可表示为：

式中，ε∈［0，1］为分辨系数，是一个事先取定的常数。

关联系数是一个实数，它表示各时刻数据间的关联程度。它的时间平均值为：

称为Xj与X0的关联度。若ri＞rj＞rk，则Xi、Xj和Xk与X0的关联度大小顺序依次为Xi、Xj和Xk。

（3）灰色系统模型的建立

建模思想是：将原始数据数列通过一定的数学方法进行处理，将其转化为微分方程来描述系统的客观规律。灰色系统理论对数据的处理常采用累加或累减生成方法，使无序数据列转化为有序数据序列，使生成数据序列适宜微分方程建模。这种使系统由不确定到确定，由知之不多到知之甚多的过程，就是通常说的使系统由“灰”变“白”。

灰色系统模型（GM）包含模型的变量维数m和阶数n，记为GM（n，m），一般有一阶多维GM（1，m）和一维高阶GM（n，1）应用形式。高阶模型的计算复杂，精度也难以保障；同样，多维模型在城市固体废弃物产生分析中的应用也不多见，普遍使用的是GM（1，1）模型，通常用于以时间变量参数对固体废弃物的产生变化趋势进行分析，因此实际上是一种时间序列分析方法。其信息处理和建模方法如下：灰色预测模型GM（1，1）模型是常用的预测模型，是对既有已知参数，又有许多未知数和不确定参数的灰色系统进行预测的模型方式。建立GM（1，1）模型只需一个数列X0（t）。

X0（t）＝｛X0（1），X0（2），…，X0（t）｝ （t＝1，2，…，n）

通过对原始数据作一次累加生成（1－AGO），则又生成数列X1（t）：

X1（t）＝｛X1（1），X1（2），…，X1（t）｝

＝｛X0（t），X1（t）＋X0（2），…，X1（t－1）＋X0（t）｝

X1（t）可建立下述微分方程：

式中，a、u为待辨识参数。这是一阶一个变量的微分方程模型，故记为M（1，1）。记参数列为方程中的通用参数a、u由下式求得，用最小乘法得参数

a＾ ＝ BT( B)－1BTYN（3-2）

式中，B为累加生成矩阵；YN为向量。记号T表示矩阵的转置，－1表示矩阵的逆。B与YN的构成为：

YN＝ [X0（2），X0（3），…，X0（t）]T

微分方程的解为：

X＾1（t＋1）＝[X0（1）－ua]e－at＋ua（3-3）

由（3-3）式得到的数据是累加生成数据，需要作1-AGO处理，

即： （t）＝（t）－（t－1） （3-4）

根据（3-4）式，将累加预测序列作累减生成还原为非累加序列的预测值，再与原始值进行比较，对模型作残差检验。若精度不高，应作残差修正，建立残差预测模型，以提高模型的精度。

GM（1，n）的建模过程与GM（1，1）建模过程类似。GM（1，n）模型的白化形式的微分方程为：

近似时间相应式为：

其中t为预测年的基准年份（t＋1）为因子通过GM（1，1）模型预测的一次累加生产值。计算出（t＋1），对t＋1）作还原生产，得到要素的预测值。