多目标规划的基本解法

求解多目标规划的基本思想就是将其转换为单目标规划问题，然后再进行求解。常见的多目标规划的解法主要有：

1． 约束法

约束法就是指在多个目标中选定一个主要目标，而对其他目标设定一个期望值，在要求结果不比此期望值坏的情况下，求主要目标的最优解。

这里，我们把满足问题中约束条件的解X∈Rn称为可行解（或可行点），所有的可行点的集合称为可行集（或可行域），记为D，即：

D＝ {X｜gj（X）≤0，hk（X）＝0，X∈Rn}

原问题可简记为：

多目标规划问题通过约束法处理后，其数学模型变为：

2． 分层序列法

把多个目标按照其重要程度排序，确定其优先等级，假设优先等级用pt表示，t值越小优先等级就越高。在求解时，首先求出优先等级为p1的目标的最优解，再在实现此目标的条件下转向处理优先等级为p2的目标，依次类推，直到最后一个目标求解结束，即得到多目标规划的满意解。其数学模型表达形式如下：

在实用中，为了保证每一个解不为空，常给前面的最优解设定一定的宽容量ε ＞0，得到多目标规划（V）的弱有效解。但这种方法存在一定的缺陷，当前面的问题的最优解唯一时，后面的求解就失去了意义。

3． 功效系数法

对不同类型的目标函数统一量纲，分别得到一个功效系数函数，然后求所有的功效系数乘积的最优解。例如：

4． 评价函数法

这种方法是求解多目标规划的最为常见的方法，就是用一个评价函数来集中反映各不同目标的重要性等因素，并极小化此评价函数，得到问题的最优解。常见的有以下几种方法：

（1）理想点法

理想点法的基本思想是在某种意义下使向量目标函数与所考虑问题的理想点的偏差为极小，求出多目标规划问题的有效解。为了求解多目标规划问题，先依次极小化各个分目标。

设求得第 j 个目标的极小值 fj*，记理想点为 f*＝f，…）T。由于点的各个分量对于相应的分目标而言是最理想的值，故称f*为多目标规划问题的理想点。定义评价函数：是多目标规划问题的有效解。

最后求解非线性规划问题（F（X））。此问题的最优解就

（2）平方和加权法

先设定单目标规划的下界，fj（X），j＝1，2，…，p。

然后定义其评价函数：

式中，λj为事先给定的一组权系数，满足：

求解非线性规划问题（F（X）），问题的最优解就是多目标规划问题的有效解。

（3）线性加权法

线性加权法是指事先根据目标函数f1（X），f2（X），…，fp（X）的重要程度给出一组权系数λj，满足：λj＞0，j＝1，2，…，pλj＝1。然后定义评价函数：

求解非线性规划问题（F（X）），得到的最优解称为多目标规划的有效解。

（4）极小极大法

极小极大法的基本思想：极小化目标函数的最大分量，即给出评价函数：

求解非线性规划问题：（F（X））＝（X）}，该问题的最优解就是多目标规划的有效解。但是，实际上，此非线性规划问题的目标函数不可微，不能直接用基于梯度的算法，因此，将此问题进行了转化，令t＝（X），则该规划问题可等价为：

（5）乘除法

考虑两个目标的规划问题：f1（X）→min，f2（X）→max，且f1（X）＞0，f2（X）＞0，X∈D。

则定义评价函数：

h（F（X））＝f2（X）／f1（X） （7-11）

求解非线性规划问题（X）／f1（X），问题的最优解就是多目标规划的有效解。

对多目标规划除了以上几种方法外，还可以适当修正单纯形法来求解。另外，还有一种方法称为层次分析法，是由美国运筹学家沙旦于20世纪70年代提出的，这是一种定性与定量相结合的多目标决策与分析方法，对于目标结构复杂且缺乏必要的数据的情况更为实用。