曲面基本体的投影

时间：2023-10-07 百科知识版权反馈

【摘要】：由曲面和平面或仅由曲面围成的立体叫曲面基本体，或叫回转体，例如圆柱体、圆锥体、球体、圆环等，见图4-8。对此圆锥体进行投影分析。圆锥体的水平投影是一个圆，它反映圆锥体底圆的实形，它的正面、侧面投影均积聚为水平直线。正面投影等腰三角形的两腰是圆锥体最左、最右素线的投影，其水平投影是横向水平中心线，侧面投影也是中心线。圆锥面的三面投影均无积聚性。水平投影的最大、最小圆分别是圆环径向最大、最小轮廓的投影。

4.2　曲面基本体的投影

由曲面和平面或仅由曲面围成的立体叫曲面基本体，或叫回转体，例如圆柱体、圆锥体、球体、圆环等，见图4-8。

图4-8　曲面基本体

（a）圆柱体；（b）圆锥体；（c）球体；（d）圆环

4.2.1　圆柱体

1.圆柱体的形成

如图4-9（a）所示，形成母线AA₁，围绕与其平行的轴线OO₁，旋转一周形成的几何体叫圆柱面。圆柱体由上、下底面圆和圆柱面围成。直线AA₁叫母线。母线在旋转过程中所停留的任何位置直线都叫素线。圆柱体可以看成由上底面、下底面和诸多素线围成。

2.圆柱体的三视图及投影分析

如图4-9（b）、（c）所示，圆柱体的正面、侧面投影是长方形，水平投影是个圆。

图4-9　圆柱体形成及三视图

（a）形成；（b）立体图；（c）三视图

对此圆柱进行投影分析。圆柱体正面、侧面投影均为长方形，它的上边为圆柱体上面圆的积聚性投影，下边为圆柱体下面圆的积聚性投影，圆柱面上最左、最右两素线AA₀和BB₀在主视图上的投影a′a′₀、b′b′₀为长方形另外两边的投影。同时AA₀、BB₀是主视图的转向轮廓线，也是主视图的可见性分界线，其前半个圆柱面在主视图上的投影可见，其上点、线的正面投影也可见，后半个圆柱面的正面投影不可见，其上点、线的正面投影也不可见。两转向轮廓线的正面投影a′和b′必须画出，它们的侧面投影与对称中心线重合，水平投影积聚为两个点（最左点和最右点）。

圆柱面上最前、最后两素线CC₀和DD₀是左视图的可见性分界线，是左视图的转向轮廓线。左半个圆柱面的侧面投影可见，其上点、线的侧面投影也可见，右半个圆柱面不可见，其上点、线的侧面投影也不可见。两转向轮廓线的侧面投影c″、d″必须画出，它的正面投影与对称中心线重合，水平投影积聚为两个点（最前点和最后点）。

3.圆柱体表面的点

例4-3　如图4-10（a）所示，已知圆柱面上点M的正面投影m′和点N的侧面投影n″，求点M、N的其他两面投影。

分析：由点M的正面投影可知，点M位于左、前半个圆柱面上，由点N的侧面投影可知，点N位于右、前半个圆柱面上。

解　如图4-10（b）所示，利用圆柱面水平投影的积聚性，可由点m′向下作垂线，垂线与圆的前半部的交点，即为点M的水平投影m，然后利用“高平齐，宽相等”的投影规律可求出其侧面投影m″。利用水平投影的积聚性特点也可方便求出n和n′。

由分析的点M和点N的位置可判断出m″、n′均可见。

图4-10　圆柱面上点的求法

（a）题目；（b）作图方法

4.2.2　圆锥体

1.圆锥体的形成

如图4-11（a）所示，形成母线SA围绕与其相交的轴线SO旋转一周而围成的几何体连同其底面圆叫圆锥体。

2.圆锥体的三视图及投影分析

如图4-11（b）、（c）所示，当圆锥体的轴线垂直于H面时，其俯视图的投影为圆，主视图、左视图是等腰三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，等腰三角形的腰分别为圆锥面的转向轮廓线的投影。

图4-11　圆锥体形成及三视图

（a）形成；（b）立体图；（c）三视图

对此圆锥体进行投影分析。圆锥体的水平投影是一个圆，它反映圆锥体底圆的实形，它的正面、侧面投影均积聚为水平直线。正面投影等腰三角形的两腰是圆锥体最左、最右素线的投影，其水平投影是横向水平中心线，侧面投影也是中心线。最左、最右素线是正面投影的可见性分界线。最前、最后素线的投影请读者自己分析。圆锥面的三面投影均无积聚性。

3.圆锥体表面的点

（1）特殊位置点

在圆锥体的圆锥面最左、最右、最前、最后素线及底面上的点，叫特殊位置点。

例4-4　如图4-12所示，已知点A的正面投影a′，点B的水平投影b，点C的侧面投影c″，求它们的另外两面投影。

图4-12　圆锥面上特殊位置点的求法

解　点A在最左素线上，其水平投影在左半部的水平中心线上，侧面投影在中心线上；点B在最后素线上，先求出它的侧面投影b″，再根据b和b″求出它在正面上的投影b′；点C在底面上，先求出其在水平面上的投影c，再根据c和c″求出其在正面上的投影c′，作图方法见图4-12。

（2）一般位置点

例4-5　如图4-13（a）所示，已知圆锥面上点K的正面投影k′，求点K的其余两面投影。

分析：一般位置点必须借用辅助手段求出，因为圆锥体的三面投影均无积聚性，不能利用投影的积聚性直接求得。

解法一：辅助素线法

如图4-13（b）所示，过圆锥体顶点S与点K连线并延长与底面圆交于点A，利用点K从属于素线SA的性质和投影规律，可求出点K的另外两面投影。

如图4-13（c）所示，作图方法如下：

1）连接s′k′并延长和底边交于点a′；

2）求出直线SA的水平投影sa，由点k′向下作垂线与sa的交点k即为点K的水平投影；

3）利用“高平齐、宽相等”的投影规律，求得点K的侧面投影k″。

图4-13　圆锥面上一般位置点的求法

（a）题目；（b）立体图；（c）辅助素线法；（d）辅助平面法

解法二：辅助圆法

如图4-13（b）所示，在圆锥面上过点K作一辅助圆，该圆为水平面，它的水平投影为反映其实形的圆，正面投影和侧面投影积聚为直线，该圆水平投影直径等于直线的长度。

作图方法如下：

1）过点k′作直线c′d′垂直于轴线（c′d′为辅助圆的正面投影）；

2）画出辅助圆的水平投影，由点k′向下作垂线，与辅助圆水平投影前半部的交点k即为点K的水平投影；

3）利用“高平齐，宽相等”的投影规律求得点K的侧面投影k″。

由于点K位于左前半个圆锥面上，故侧面投影k″可见。

4.2.3　圆球

1.圆球的形成

如图4-14（a）所示，半圆母线围绕其直径OO₁旋转而形成的几何体叫圆球。

图4-14　圆球的形成及三视图

（a）形成；（b）立体图；（c）三视图

2.圆球的三视图及投影分析

圆球的三视图、投影分析如图4-14（b）、（c）所示，圆球的三面投影为三个全等的圆，并且均无积聚性。

球体三面投影的三个圆分别是球面上平行于正面、水平面和侧面的转向轮廓线圆的投影。例如球面上平行于正面的圆A，在正面上的投影为圆a′，在水平面、侧面上的投影分别为a、a″均与中心线重合；圆A又是其正面投影的可见性分界线，前半个球面的几何元素（点、线）正面投影是可见的，后半个球面的几何元素是不可见的。球面上平行于水平面和侧面的圆，请读者自己分析。

3.圆球表面的点

（1）特殊位置点

球面上转向轮廓线圆上的点叫特殊位置点。

例4-6　如图4-15所示，已知球面上点A的正面投影a′，点B的水平投影b，点C的侧面投影c″，求它们的另外两面投影。

解　如图4-15所示，点A在水平转向轮廓线圆右后半部，由点a′向下作垂线和水平投影圆的后半部相交，即为其在水平面上的投影a，依据点的投影规律可求出其在侧面上的投影a″。用同样方法可以求出点B、C另外两面投影。

图4-15　圆球上特殊位置点的求法

（2）一般位置点

由于圆球的三面投影均无积聚性，所以要求一般位置点的其他两面投影必须寻求其他方法，这种方法就是辅助平面法，见图4-16。

例4-7　如图4-16（a）所示，已知球面上点D的正面投影d′中点C的侧面投影c″，求点C、D的其余两面投影并判断其可见性。

图4-16　圆球上一般位置点的求法

（a）题目；（b）作图方法

解　过点d′在球面上作一辅助水平面，该辅助平面与球相交得一个圆，其半径为截切处圆的半径，辅助圆的正面、侧面投影积聚成直线，水平投影反映它的实形，点D的水平投影就在此圆上，以此可方便求它的另外两面投影。点C的求法请读者自行分析。

作图方法如图4-16（b）所示。

由已知投影d′的位置可判断出点D位于上半球的左上方，故d、d″都可见。

4.2.4　圆环

1.圆环的形成

如图4-17（a）所示，圆环可以看做是以圆ABCD为母线，围绕与其在同一平面内不相交的轴线OO₁旋转一周而围成的几何体，见图4-17（b）。圆环的外面，称为外环面，由圆母线的弧形成；圆环的里面，称为内环面，由圆母线的弧形成。

2.圆环的三视图及投影分析

图4-17（c）所示是圆环中心线垂直于水平面时的三视图。

图4-17　圆环的形成与投影

（a）形成；（b）立体图；（c）三视图

对此圆环进行投影分析，正面投影中的两个小圆是母线转至平行于正面时的投影，上下两水平直线分别是圆环上最上、最下两轮廓圆的投影，前半个外环面的正面投影可见。水平投影的最大、最小圆分别是圆环径向最大、最小轮廓的投影。上半个圆环面的水平面投影可见，下半个不可见。画图时，正面投影要画出回转轴线、母线圆中心线，水平投影要画出最大、最小圆的中心线、轮廓线和母线圆心运动轨迹的投影（用点画线表示）。

3.圆环表面的点

（1）特殊位置点

圆环面上的最上、最下轮廓圆，最大、最小轮廓圆和平行于投影面的素线圆上的点叫特殊位置点。这些特殊位置点可以直接求出。

例4-8　如图4-18所示，已知圆环面上点A的投影a′、点B的投影b″和点C的投影c，求它们的另外两面投影。