城市独立坐标系的基本转换方法

2.3.3　城市独立坐标系的基本转换方法

众所周知，不同的地球椭球元素、不同的椭球定位和定向方法，将产生不同的测量坐标系。要进行同一点在不同坐标系中的高斯平面直角坐标的变换，除了必须知道两个坐标系所属的地球椭球元素外，还必须知道两个坐标系间的转换参数。在建立城市或工程控制网时，大都采用椭球的高斯投影，当所采用的投影方式不同时，会产生不同的测量坐标系。

为了将各城市的独立坐标系转换为国家统一坐标，必须具有一定数量的公共点作为两种系统的连接点，这些公共点应具有两个坐标系中的双重坐标，并可提供所有公共点在1954年北京坐标系下的统一3°带坐标。各项精度指标均应满足现行GPS测量技术规程要求。

在GPS地籍控制网建立后，对于每个城市的公共点来说，均有新、旧两套坐标值，根据有限的公共点，选择适当的方法，可以实现各城市新、旧坐标系的变换。这些变化方法主要包括以下几种。

1.联合平差转换法

该方法的基本思想是：将城市已有的地面网观测值归算到新建GPS网中，进行GPS网和地面网的二维联合平差处理，求出地面网各点在新系统中的国家坐标。无疑这是一种严密的平差转换方法。具体实施时有两种方式：

(1)将总体GPS网和所有城镇地面网联合平差，以总体GPS网的约束点作为联合平差的起算点。

(2)将分区GPS网和相应城市地面网联合平差，以总体GPS网平差所得的公共点作为联合平差的起算点。

2.最小二乘变换法

该方法的基本思想是：根据城镇新、旧网中多个公共点的两组坐标，按最小二乘法原则反求新、旧坐标系间的平移、旋转和尺度比参数，再以求得的转换参数对其他点进行坐标变换。这是一种较精确的坐标转换方法，特别是当新、旧网的起算数据相同，只因观测误差影响而产生两系统的坐标差异时，这种方法更为有效。该方法的基本原理如下：

假设公共点在新、旧网中的坐标分别为x，y及x'，y'。现要求把旧网合理地配置到新网上，为此对旧坐标系加以平移、旋转和尺度因子的改正，而保证旧网的形状不变。显然有下列变换方程：

x=a+x'mcosΔα－y'msinΔα

y=b+y'mcosΔα+x'msinΔα

为对上式线性化和简化后述计算，设

c=mcosΔα

d=m sinΔα

则上式线性化为

x=a+x'c－y'd

y=b+y'c+x'd

设由测量误差影响而引起新、旧坐标为x，y及x'，y'之差异分别为V_x，V_y及V'_x，V'_y，则上式可写为

x+V_x=a+(x'+V'_x)c－(y'+V'_y)d

y+V_y=b+(y'+V'_y)c+(x'+V'_x)d

若设

f_x=－V_x+cV'_x－dV'_y

f_y=－V_y+dV'_x－cV'_y

则有

x=a+x'c－y'd+f_x

y=b+y'c+x'd+f_y

若新、旧网共有n个公共点，则可组成n对方程，这样所得的2n个方程的矩阵表达式可简写为

x=Ax+f

式中：矩阵

x=［x₁y₁x₂y₂…x_ny_n］^T

X=［abcd］^T

f=［f_x1f_y1f_x2f_y2…f_xnf_yn］^T

上式正是参数平差时的观测方程，其中x表示观测值向量，A表示未知数系数向量，X表示未知参数，f表示改正数向量。因此，只要继续进行通常的参数平差即可求得参数a，b，c，d，进而可以计算出旧网中所有待变换点的新坐标x，y。

3.简易相似变换法

该方法的基本思想是：根据城市新、旧网中少量公共点的地方独立坐标和国家统一坐标，求出新、旧坐标系间的平移、旋转和尺度比参数，再以求得的转换参数对其他点进行坐标变换。相当于保持旧网的形状不变，对旧网进行平面上的相似变换，使之与新网相一致。显然这是一种简化的近似处理方法，其转换的精度与测区的范围以及公共点的数量和分布有关。以3个公共点为例，计算主要步骤如下：

(1)根据任意一个公共点(假定为A点)的新、旧坐标，确定旧网起算点在新坐标系中的坐标X₀，Y₀：

X₀=X_A(新)－X_A(旧)

Y₀=Y_A(新)－Y_A(旧)

(2)根据同一条边在新、旧网中坐标方位角之差计算新、旧坐标轴的交角。

Δα=α_新－α_旧

(3)根据两公共点间的边长在新旧系统中的差异求出坐标变换尺度比因子。

m=S_新/S_旧

为了对坐标轴旋转角Δα和尺度比因子m的计算进行校核，需进行23条边的计算，其相差不应超过一定的限值，符号要求时可取Δα_均和m_均。

(4)按公式计算各点的新坐标

X_i=X₀+ΔX'_im_均cosΔα_均－ΔY'_im_均sinΔα_均

Y_i=Y₀+ΔY'_im_均cosΔα_均+ΔX'_im_均sinΔα_均

式中：

ΔX'_i=X'_i－X'₀

ΔY'_i=Y'_i－Y'₀

式中X'₀，Y'₀为起算点的旧坐标，X'_i，Y'_i为第i点的旧坐标。

4.坐标函数拟合法

该方法的基本思想是：根据城市新、旧网中若干个公共点的坐标差值dx，dy，选用适当的函数拟合模型，求出相应的拟合参数，再以求得的拟合参数对其他点进行坐标变换。该方法转换的精度与测区的范围以及公共点的数量和分布有关。测区较大时应采取分区拟合以提高拟合精度。一般情况下，重合点的坐标差与点的位置有密切关系，因而选择二次函数拟合模型较为理想。

x_i(新)=x_i(旧)+dx_i

y_i(新)=y_i(旧)+dy_i

式中：

式中：a_i，b_i为新、旧坐标间的转换参数，它们由重合点的新、旧坐标差拟合求出。

若有n个重合点，上式可简写为Aa=L，拟合参数a的最小二乘解为

a=(A^TA)^－1(A^TL)

式中：

L=［dx₁dy₁…dx_ndy_n］^T

根据平差获得的测区拟合系数a即可拟合出其他点的新坐标。

城市独立坐标转换应根据测区实际情况和相应的精度要求，选择适当的转换方法。联合平差转换法理论严密，转换精度高，但工作量大，不能求得实用的转换参数；最小二乘转换法要求两系统具有3个以上的公共点，分布均匀，转换精度较高，可求得转换参数，尤其是起算数据相同时更为理想；简易相似变换法是针对测区仅有少量公共点时而采取的一种近似算法，亦可求得转换参数；坐标函数拟合法要求测区具有3个以上的公共点，尽可能分布均匀，可求得拟合参数，尤其适合于两系统坐标差与点的位置有密切关系的情形。城市独立坐标转换应根据测区具体情况和相应的精度要求，选择适当的转换方法，以保证提供转换的整体精度。

本节所讨论的原有控制网点旧坐标的转换问题是建立城市规划与建设地理信息系统亟待解决的一个大问题，它直接关系到能否建立统一完整的城市地理坐标体系。