傅里叶变换图像增强

2.2.1　傅里叶变换图像增强

傅里叶变换是数字图像处理领域一种很重要的算法。图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如:大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低;而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅里叶变换在实际中有非常明显的物理意义，从纯粹的数学意义上看，傅里叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅里叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅里叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅里叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为图像的灰度分布函数。

傅里叶变换法图像增强是在图像的某个变换域内，对图像进行操作，修改变换后的系数，有傅里叶变换、余弦变换和小波变换等，然后再进行反变换得到所增强的图像。

从现代数学的角度看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换，它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换(Continue Fourier Transform，CFT)和离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform，DFT)。

傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。

(1)离散傅里叶变换。离散傅里叶变换有与傅里叶变换相类似的作用和性质，在离散信号分析和数字系统综合中占有极其重要的地位。它不仅建立了离散时域与离散频域之间的联系，而且由于它存在周期性，还兼有连续时域中傅里叶级数的作用，与离散傅里叶级数有着密切联系。在计算速度方面，已研究出各种快速计算的算法，使离散傅里叶变换的应用更为普遍，在实现各种数字信号处理系统中起着核心作用。

由于连续傅里叶变换在计算机上无法直接使用，计算机只能处理离散数值，为了在计算机上实现傅里叶变换计算，必须把连续函数离散化，即将连续傅里叶变换转化为离散傅里叶变换。

MATLAB图像处理工具箱提供了二维离散傅里叶变换函数fft2()和获取傅里叶频谱函数abs()。图2－42是一幅简单的图像，图2－43是用函数abs()计算出来的傅里叶频谱，图2－44是用fftshift()函数将变换的原点移动到频率矩阵的中心，居中后的结果很明显。图2－45是使用对数函数变换进行视觉增强后的频谱，可视细节的增加是很明显的，变换结果的四个角的周围对应于低频成分，中央部位对应于高频部分。程序代码如下:

f1=imread('dot.jpg');

imshow(f1);

f=fft2(f1);

f2=abs(f);

figure，imshow(f2);

f3=fftshift(f);

figure，imshow(abs(f3)，［］);

f4=log(1+abs(f3));

figure，imshow(abs(f4)，［］)。

图2－42

图2－43

图2－44

图2－45

(2)离散余弦变换。与变换核为复指数的离散傅里叶变换相比，离散余弦变换(Discrete Cosine Transform，DCT)的变换核是实数的余弦函数。N.Ahmed等人在1974年提出的正交变换方法，它常被认为是对语音和图像信号进行变换的最佳方法。是与傅里叶变换相关的一种变换，因此离散余弦变换的计算速度要快，广泛应用于信号处理和数字图像处理，用于对信号和图像(包括静止图像和运动图像)进行有损数据压缩。这是由于离散余弦变换具有很强的“能量集中”特性，大多数的自然信号(包括声音和图像)的能量都集中在离散余弦变换后的低频部分。

离散余弦变换相当于一个长度大概是它两倍的离散傅里叶变换，这个离散傅里叶变换是对一个实偶函数进行的(因为一个实偶函数的傅里叶变换仍然是一个实偶函数)，在有些变形里面需要将输入或者输出的位置移动半个单位(DCT有8种标准类型，其中4种是常见的)。

MATLAB图像处理工具箱提供了二维离散余弦变换函数dct2()和获取傅里叶频谱函数abs()。图2－46是一幅原图像，图2－47是用函数abs()计算出来的傅里叶频谱，图2－48是用dct2()函数变换后的图像。程序代码如下:

f=imread('woman.jpg');

imshow(f);

g1=dct2(f);

g2=abs(g1);

figure，imshow(g2);

f(abs(f)＜10)=0;

figure，imshow(f)。

图2－46

图2－47

图2－48